数学の問題です

質問

一回解いてみたのですが全く歯が立ちませんでした・・・・。
解説よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa

(1)＞a(n)=1/(2n-1)(2n+1)=(1/2){1/(2n-1)-1/(2n+1)}だから
S(n)=(1/2)∑(1→n){1/(2n-1)-1/(2n+1)}
=(1/2){1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+・・・・・1/(2n-1)-1/(2n+1)}
=(1/2){1-1/(2n+1)}=n/(2n+1)・・・答
＞S(n-1)=(n-1)/{2(n-1)+1}=(n-1)/(2n-1)だから
左辺=S(n)-S(n-1)=n/(2n+1)-(n-1)/(2n-1)=1/(2n+1)(2n-1)
右辺=(1-2S(n-1))(1-2Sn)={(1-2(n-1)/(2n-1)}{1-2n/(2n+1)}
={(1/(2n-1)}{1/(2n+1)}=1/(2n+1)(2n-1)　　　（証明終わり）
(2)＞U(n)=1-2T(n)からT(n)={1-U(n)}/2、T(n-1)={1-U(n-1)}/2を
T(n)-T(n-1)=(1-2T(n-1))(1-2T(n))に代入、整理
U(n)-U(n-1)=-2U(n-1)U(n)・・・「ア」
＞U(n)=U(n-1)/{2U(n-1)+1}
n=2、U(2)=U(1)/{2U(1)+1}=(1/c)/(2/c+1)=1/(c+2)
n=3、U(3)=U(2)/{2U(2)+1}={1/(c+2)}/[2{1/(c+2)}+1]=1/(c+4)
n=4、U(4)=U(3)/{2U(3)+1}=1/(c+6)
・・・・・・・・・・・・・・・・
n=n、U(n)=1/{c+2(n-1)}=1/(c+2n-2)・・・「イ」
＞U(n)=1-2T(n)=1-2∑(i=1→n)b(i)
U(1)=1-2T(1)=1-2b(1)=1/(c+2*1-2)=1/cから
b(1)=(1-1/c)/2=(c-1)/2c・・・「ウ」
＞T(n)=∑(i=1→n)b(i)、T(n-1)=∑(i=1→n-1)b(i)だから
b(n)=T(n)-T(n-1)={1-U(n)}/2-{1-U(n-1)}/2
=(1/2){U(n-1)-U(n)}=U(n-1)U(n)
=1/(c+2n-4)(c+2n-2)・・・「エ」
a(n)=1/(2n-1)(2n+1)だから、2n+1=c+2n-2よりc=3・・・「オ」

回答No.2

info22_

>一回解いてみたのですが全く歯が立ちませんでした

「全く歯が立ちませんでした」であるなら
「一回解いてみたのですが」は一回解いてみたことにはならないのでは？

取り敢えず、(1)だけ解いてみると

添字を[ ]を付けて表すことにします。
(1)
　a[n]=1/((2n-1)(2n+1))={1/(2n-1)-1/(2n+1)}/2 (n=1, 2, 3, …)

と部分分数分解できるから

　S[n]=a[1]+a[2]+ … +a[n]
　 =({(1/1)-(1/3)}+{(1/3)-(1/5)}+ … +{(1/(2n-1)-1/(2n+1)})/2
　 ={1-(1/(2n+1))}/2
　 =(1/2)-(1/(2(2n+1)))　(n=1,2,3,　…) ←（答え）
n=2,3,…で
　左辺=S[n]-S[n-1]=a[n]=1/((2n-1)(2n+1))
　右辺=(1-2S[n-1])(1-2S[n])={1/(2n-1)}{1/(2n+1)}=1/((2n-1)(2n+1))
∴左辺=右辺

回答No.1

Tacosan

「部分分数」はご存知?