射と写像の違い

質問

射と写像の違いってなんですか？

（基本的に同じものと考えてよいと思いますが、あえて違いをいったときの、違いがわかりません。)

回答No.2

ur2c · ベストアンサー

写像という言葉は大概の人は同じ定義で理解してるのに対し、射という言葉は人によって理解に違いがあります。特に圏論で言う射と集合論で言う射とは、同じ言葉ではあるし相互に関係もあるけど、別物です。

たとえば集合論では injection, surjection, bijection のことを単射、全射、双射と訳すことがあり、単射かつ全射が双射の定義です。圏論でそれらに対応する概念は mono, epi, iso (monomrophism, epimorphism, isomorphism) で、これらは単射、全射、同型射と訳すことがありますけど、単射かつ全射なら同型射であるとは限りません。map (function) と arrow (morphism) という似ているけど異なる概念を、同じ「射」という言葉に訳しています。一般に数学では、同じ名称が同じ概念を表すとは限りません。たとえば最小多項式という名称は線形代数と体論とで指すものが違います。

結局、単に射という言葉だけではどういう概念を指しているのか不明確で、local な定義（あるいは原語、文脈など）を見ないと正確にはわかりません。

お礼

最後にかかれている、「結局、単に射という言葉だけではどういう概念を指しているのか不明確で、local な定義（あるいは原語、文脈など）を見ないと正確にはわかりません。」と言う部分が、大変印象的でよくわかりました。
有り難うございます。

回答No.1

itshowsun

写像は、２つの集合間の要素たちの対応を考えますが、
射は、２つの数学的対象（構造を持つ集合）間の構造を含めた対応を考えます。
たとえば、A={1, 2}とB=(4, 8)の間の写像A→Bでは、
(1, 4), (2, 8)
(1, 8), {2,4}
の2種類の1対1対応が考えられます。
　一方、α =(A, >), β = (B, >) の大小関係（これが構造）を持った数学的対象たちでは、
(1, 4), (2, 8)
のみの1対１対応しかありません。すなわち
1　<　2
↓　 ↓
4　<　8
この対応ではそれぞれの大小関係（構造）を保存する写像であり、
普通の写像と区別するために射と呼ばれます。
　集合のカテゴリーを考える場合は、写像と射は同じ物です。
集合は構造を持たない対象です。