ど忘れしてしまいました

質問

「速度分布V=(2x+y,z+x^2,3x+y+z)の時の勾配（grad）を求めよ」
という問題で、解き方を忘れてしまいました。
他の質問などから、
gradΦ=(dΦ/dx,dΦ/dy,dΦ/dz)
は理解しました。

今回の場合、
gradV=(d(2x+y,z+x^2,3x+y+z)/dx,d(2x+y,z+x^2,3x+y+z)/dy,d(2x+y,z+x^2,3x+y+z)/dz)
として、
gradV=(2+1+0,2x+0+1,3+1+1)=(3,2x+1,5)

とすれば良いのではないかと考えています。

くだらない質問ですみませんが、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#252183 · ベストアンサー

発散の方は#1回答の公式で計算すると、
div・(u,v,w)＝∂(2x+y)/∂ｘ＋∂(z+x^2)/∂ｙ＋∂(3x+y+z)/∂ｚ＝2＋0＋1＝3
となります。
で、改めてこれを書くと、

∂ｕ/∂ｘ＋∂ｖ/∂ｙ＋∂ｗ/∂ｚ＝３

となっています。
右辺が 0なら「○○の式」そのものですが、3なので成り立ちません。
３次元空間の至る所から流れが湧き出すような系です。
原点で流速ゼロで、原点から遠いほど流速が早くなり、座標±∞で流速も±∞になります。

勾配の方は、やはり？です。
（まあ、まともな問題ではないようです。）

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訂正その２：
#1回答で体積歪み速度を「一種の加速度」と書いたのは誤りでした。次元を勘違いしました。

回答No.2

noname#252183

訂正：
（誤）∇・Ｖ＝∂Ｖ/∂ｘ＋∂Ｖφ/∂ｙ＋∂Ｖφ/∂ｚ
⇒
（正）∇・Ｖ＝∂Ｖx/∂ｘ＋∂Ｖy/∂ｙ＋∂Ｖz/∂ｚ

回答No.1

noname#252183

「速度分布V=(2x+y,z+x^2,3x+y+z)の時の勾配（grad）を求めよ」
って、何の勾配を求めるんでしょうか？

今ナブラ（∇）を
∇＝（∂/∂ｘ，∂/∂ｙ，∂/∂ｚ）
というベクトル演算子とし、
φをスカラー、Ｖをベクトルとし、

◆勾配（ｇｒａｄ）：∇φ＝（∂φ/∂ｘ，∂φ/∂ｙ，∂φ/∂ｚ）・・・結果はベクトル
◆発散（ｄｉｖ）：∇・Ｖ＝∂Ｖ/∂ｘ＋∂Ｖφ/∂ｙ＋∂Ｖφ/∂ｚ・・・結果はスカラー

とすれば、「速度分布V=(2x+y,z+x^2,3x+y+z)の時の発散（div）を求めよ」なら矛盾しませんが・・・

なお、速度ベクトル V=(2x+y,z+x^2,3x+y+z)　の時、発散
∇・Ｖ＝∂Ｖ/∂ｘ＋∂Ｖφ/∂ｙ＋∂Ｖφ/∂ｚ　
は、流体要素の微小体積変化率（一種の加速度）を意味し、「体積歪み速度」と呼ばれます。

これを求めよというのか、問題文に「勾配」とあっては、題意不明です。

補足

ごめんなさい、問題文が間違えていました。

速度分布(u,v,w)=(2x+y,z+x^2,3x+y+z)で与えられるときの、
勾配(grad)と発散(div)を求めよ。

という問題です。

流体力学の問題の基礎らしいのでそれほど難しくないと思うのですが・・・・・・