数学の問題です。お願いします。

質問

四面体OABCについて辺OA,BC,OB,ACの中点をそれぞれKLMNとし
KLの中点を点Pとする。
このとき三点MPNは一直線上にあることを示せ。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞ベクトル(↑)を使うなら、↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=cとして
↑OP=↑OK+(1/2)↑KL=↑OK+(1/2)(↑OL-↑OK)=(1/2)(↑OL+↑OK)
=(1/2){↑OB+(1/2)↑BC+↑OK}
=(1/2){↑OB+(1/2)(↑OC-↑OB)+↑OK}
=(1/2){↑b+(1/2)(↑c-↑b)+(1/2)↑a}
=(1/2){(1/2)(↑c+↑b)+(1/2)↑a}
=(1/4)(↑a+↑b+↑c)
↑NP=↑OP-↑ON=↑OP-{↑OA+(1/2)↑AC}
=↑OP-{↑OA+(1/2)(↑OC-↑OA)}
=(1/4)(↑a+↑b+↑c)-{↑a+(1/2)(↑c-↑a)}
=(1/4)(↑a+↑b+↑c)-(1/2)(↑c+↑a)
=(1/4)(↑b-↑a-↑c)・・・・・(1)
↑MP=↑OP-↑OM=↑OP-(1/2)↑OB=(1/4)(↑a+↑b+↑c)-(1/2)↑b
=(1/4)(↑a-↑b+↑c)・・・・・(2)
(1)(2)から↑NP=-↑MP
よって三点MPNは一直線上にある(証明終わり)

回答No.2

KEIS050162

△OAB　で、K、M　はそれぞれOA、OBの中点なので、ABとKMは平行。
△CABで、N、LはそれぞれAC、ABの中点なので、ABとNLは平行。

従って、KMとNLは平行。なのでKMNLは同一平面状にあることが分かる。

同じことを△BOCと△AOCでもやると、KNとMLが平行になることが分かる。

以上から、KMLNは同一平面状にある平行四辺形ということが分かる。

平行四辺形の対角線はその中点で交わるので、KLの中点Pは、MN上にある。（MNの中点）

間違ってたらごめんなさい。

回答No.1

tomoka_m

図を描いて考えましょう。