分散の証明

質問

宿題で確率の平均値と分散についての次の問題が出されました．

1．次の式を使って平均値が0になることを示せ．
　　bar(Ｕ)＝（１／ｎ）ΣＵｉ　(ｉ＝1～ｎ)
2．次の式を使って分散が1になることを示せ．
　　Ｖｕ＝（１／ｎ）Σ（Ｕｉ－bar(Ｕ))＾2　(ｉ＝1～ｎ)

1．は解けたのですが、、2．はお手上げです(どうしても0＝1になってしまうんです)．どうかよろしくお願いします．

回答No.4

solla · ベストアンサー

標準化した変数が平均 0 分散 1 になることを示すという事ですか…。

bar(U) = (1/n) Σ((xi - bar(x)) / Sx)
　　　　= (1/n) (1/Sx) (Σxi - Σbar(x))
　　　　= (1/n) (1/Sx) (n・bar(x) - n・bar(x))
　　　　= 0

Vu = (1/n) Σ((xi - bar(x)) / Sx)^2　← ∵ bar(U) = 0
　　=(1/Sx^2) (1/n) Σ(xi - bar(x))^2
　　=(1/Sx^2)・Sx^2
　　= 1

補足

質問が1つあるんですが、Ｓｘっていうのはσと考えて良いんですか？いまさらながらＳｘがいまいち分からないんですが．

回答No.5

solla

> 質問が1つあるんですが、Ｓｘっていうのはσと考えて良いんですか？
> いまさらながらＳｘがいまいち分からないんですが．

一般的にはSxは標本標準偏差を表し、σは母標準偏差を表します。標本標準偏差はデータとしてあるn個のXiについて計算した標準偏差です。一方、母標準偏差はXiを抽出したもとの母集団全体について計算した標準偏差、あるいはXiが従う確率分布の標準偏差です。したがって一般にはSxとσは異なるものです。特殊な場合として標本が母集団に一致する場合（全数調査）においては両者は一致します。

お礼

ご丁寧に有難うございます．やっと納得することが出来ました．これで宿題もＯＫです．重ね重ね有難うございます．

回答No.3

at9_am

質問文から察するに、bar(U) は U の平均値、Vu は U の分散だと思います。少なくとも(1)式、(2)式は平均・分散の定義その物です。一方、Ui は U の一つの実現値として書かれることが多いです。

おそらく、問題に Ui のリストがあって、その和や二乗和を求めろ、という問題ではないでしょうか。

補足

申し訳ありませんでした．その前の定義で
　Ｕｉ＝（ｘｉ－bar(ｘ))／Sx
　Ｖ＝（1/n）Σ(xi-bar(x))^2　(ｉ＝1～ｎ)
　bar(x)=（1/n）Σxi　(ｉ＝1～ｎ)
があります．
よろしくお願いします．

回答No.2

solla

#1 です。たびたび失礼します。先の投稿で

> ただしそうだとすれば 2. の答えは 1 ではなく 1/√n になるはずですが…。

は、

> ただしそうだとすれば 2. の答えは 1 ではなく 1/n になるはずですが…。

の誤りでした。訂正します。

回答No.1

solla

なんの平均値と分散ですか？
式を見ると確率変数 U の平均値と分散のようですが…。
だとするとそれは求めるのではなく定義になってしまいます。

察するに、平均 0 、分散 1 の確率変数 U の標本平均の
期待値と分散を求めるのではないかと。
ただしそうだとすれば 2. の答えは 1 ではなく 1/√n になるはずですが…。

質問をもう一度見直されたほうが良いかと思います。