ベストアンサー ｅ^πという数は数学的に何か特別の意味をもっている 2013/11/05 12:56 e^(iπ）はオイラーの公式に出てきますが、e^πには、これに匹敵するような数学的意味はないのでしょうか。 みんなの回答 （2） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー Ae610 ベストアンサー率25% (385/1500) 2013/11/05 19:09 回答No.1 ｅ^π(=(-1)^(-i))は超越数(=代数的数でない複素数)である事は分かっているようである・・! (ゲルフォント-シュナイダーの定理より!) 質問者 お礼 2013/11/05 23:44 ご教示ありがとうございます。超越数というのは言葉は聞いていますが、私の理解をはるかに超えているものでした。オイラーの公式の右辺に相当するようなものがないのでしょうか。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する（1） その他の回答 (1) ramayana ベストアンサー率75% (215/285) 2013/11/05 20:26 回答No.2 -1 の -i 乗のひとつの枝（あたりまえだけど）。 質問者 お礼 2013/11/05 23:35 オイラーの公式の右辺に相当するようなものはないのでしょうか。ご教示感謝いたします。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A eの2πi乗は1になってしまうんですが。 オイラーの公式からθ=2πと代入するとeの2πi乗は1となってどうも矛盾が生じてしまうんですが。本来eの0乗が1と定義したので、もしも仮にeの2πi乗は1であると仮定すれば2πi=0となっておかしいことになるのですが、お分かりになれば深く教えてください。 オイラーの公式 ある素人向けの数学の本に e^iπ＋１＝０ という式が紹介されており、筆者がこの式は数学の美と調和と不思議を示すものとして自分の墓誌に刻んだと書いてありました。 もともとは e^ix=cosx＋isinx というオイラーの公式のxをπとおいてこの式が導かれるようですが、そもそもオイラーの公式というのはどのような背景で導き出されたもので、数学的にはどのような意味があるのでしょうか。 自然対数と虚数と三角関数が関連しているということが不思議なのですが、数学の歴史の中では、この式が導き出されたのはなんらかの必然性があったのでしょうか。 【オイラーの公式のｅとｉについて】 虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい 【オイラーの公式のｅとｉについて】 虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい。 お願いします。 数年前に「オイラーの贈り物」（だったかな？）という本に出会いまして、 exp（ｅ，ｉπ）＝－１ ・・・（ア） の式の意味を理解したくなりました。 exp（ｅ，ｉ・θ）＝ｃｏｓ（θ）＋ｉ・sin（θ） ・・・（イ） （イ）の式で、θ＝０ の時に（ア）が導かれるのはわかりました。 しかし、指数関数の指数部が虚数になっている、ということが感覚的になじめません。というか、理解できません。 公式を導く過程を読んでも、「実数の虚数乗」には違和感がぬぐえません。アレルギーかもしれません（笑） ４年制大学を卒業（しかも理系）した者として恥ずかしいのですが、いい年したオヤジの錆付いた脳みそにも浸透する、 易しくて、いや優しくて、キラリと光る解説は望めませんでしょうか。 まことに厚かましいお願いですが、皆様の知恵をお貸しください。 オイラーの公式に関係した対の数 オイラーの公式e^(πi)=-1においてe^πに注目しe^π=y^xという方程式を考えた場合、この方程式を満足する数の組み合わせは何か共通な特殊な意味を持っているのでしょうか。この方程式で（π、e)は無限にある組み合わせの一つに過ぎなくなってしまうように思うのですが・・・ e^iθの大きさ 今日読んだ本に 絶対値（e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1 と書いてありました。 オイラーの公式はe^iθ=cosθ+i sinθですよね 絶対値（e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1 とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか？ 上の式も下の式もよくわかりません どなたか両方詳しく教えて下さい。 数式は私よりも賢いという意味について 物理学者のディラックがそう言ったという話を読んだのですが、これはどういう意味なのでしょうか。私が解ける初等数学の方程式でも、数式がないとなかなか解けません。ディラックの言葉の意味をこのように考えてよいのでしょうか。あるいは天才独特の特別の意味があるのでしょうか。又積分の公式などは自分で導き出せなくても正しい答えが出てきますが、こういう場合も公式は私よりも賢いと思います。またガウスやオイラー、リーマンのような数学者も同じようなことを言っているのでしょうか。このことに関連したことでも何か教えていただければ幸いです。 なぜe^x にiを代入してもいいのですか？ オイラーの公式を導く指数関数e^xの級数にiを代入することは一致の定理があるので問題ないとにごされたのですが、具体的になぜもんだいないのでしょうか？ eではなくて整数にiをかけても計算できるのでしょうか？ わかりやすくおしえてもらえませんか？ i^x と ｅ＾(ix) の関係 ｅ＾(iθ)＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ（ｉは虚数単位） （オイラーの公式）というのは知っており、使うこともたまにあります。 最近、 ｉ＾０＝１ ｉ＾１＝ｉ ｉ＾２＝－１ ｉ＾３＝－ｉ ｉ＾４＝１ であれば（複素平面上で回転していると考えることができる？）、 ｉ＾ｘでｉ＾（１／２）とかはどうなるんだろうと考え（ｉ＾０に対してπ／４回転している？）、 Google 電卓機能を使って試してみると下記のようになりました。 i^(1 / 2) ＝ 0.707106781 + 0.707106781 i これは、 ｉ＾（１／２）＝（√２／２）＋（√２／２）i ＝ｃｏｓ（π／４）＋iｓｉｎ（π／４） となり、ｅ＾(iθ)のオイラーの公式どおりだと思います。 そうだとすると、 質問１： ｅ＾(iθ)＝ｉ＾θ が成り立つと言うことなのでしょうか。 質問２： もし、質問１が成り立つのであれば、どのような方法で証明できるのでしょうか（図とかを使ったものでもいいです）。 もし成り立たないのであればその理由も知りたいです。 オイラーの公式のe^(ix)を e^(x+i)としてみた場合 e^(x+i)=e^x*e^iをオイラーの公式e^(ix)=cosx+isinxとならべてみると 何となく指数法則がほかにも含まれているような気がするのですが、何か根拠があることでしょうか。具体的には左辺の指数の*と+関係が右辺では逆転していることに関してなのですが・・・ (e^x)^i と (e^i)^xは同じものですか オイラーの公式の左辺はe^(ix)と書かれていますが表題のような質問は成り立つのでしょうか。 数学の専門家・研究者の方に質問です e^(iπ)＝－1という有名な式がありますけど、これは見るからに不思議な式ですよね？ネイピア数をiπ乗すると－1になる。この式の導出方法などはわかります。オイラーの公式の理論的な導き方も大体わかります。しかし、どうもこの式に潜む神秘的な部分が拭えません。これは、絶対に何か重要な”意味”が込められているような気がします。何か、この世の、この宇宙の、根底に流れる何かを感じずにはいられません。 なにか、幾何学的な意味合いや、その他の説などを教えてください。 数学科の課題ですが、数学を今年初めてとったので解けません・・・。 数学科の課題ですが、数学を今年初めてとったので解けません・・・。 どなたか解説・回答をお願いします！！ 問題は以下の通りです。 オイラーの公式 exp(iθ)=cosθ+isinθを用いてsinz,coszをezp(iz)で表せ。 またこれを用いて加法定理sin(z+ω)=sinzcosω+coszsinω,coz(z+ω)=coszcosω-sinzsinωを示せ。 高校数学でオイラーの公式 高校数学でオイラーの公式 を使うことは許されているんでしょうか 昔みた高校数学用の問題集では ∫e^x*cosx*dx ∫e^x*sinx*dx これの不定積分を求めろという問題があり 解き方 積分値をIc、Isとおき部分積分を用いて Ic=○+Is Is=△-IcからIc、Isを求める方法 解き方2 積分作用は線形だから Ic+i*Is=∫e^x*cosx+i*e^x*sinx*dx =∫e^x(cosx+i*sinx)dx=∫e^x(e^ix)dx これを計算し実部と虚部を比較してIc、Isを求める方法が 別解として載っていましたが 便利ではありますが習わないようなことを使っているんです 大学受験で別解みたいな方法でやっていたらまずいですか？ 虚数と無理数について教えてください オイラーの公式 で導出できる結果について、教えてください。 ｅ^(ix)=cos x + i sin x ・・・(1) （オイラーの公式）を変形したいくと、 ｅ^(iπ)=－１ ・・・・・・。・(2) となるのはご承知のとおりです。 また、(1)で ｘ=π/２とし、両辺に ｉをかけると ｅ^(-π/２)=i＾i ・・・・・・・(3) 上の(3)の値は、０．２０７８７・・・・ ・・・(4) ここで質問です。 （高校生です。できれば、高等な数学式より、考え方で教えてください） １ なぜ(2)の値が「－１」と実数になるのかが、感覚的にわかりません。 [理由] 整数の数も、無限大ですが、無理数や少数の数は「無限大のレベルが異なる（無限大より大きな無限大）」と何かで読みました。 このことから、「無理数の虚数無理数乗」がなぜ、整数になるのか想像できません。たまたま偶然だとは確率から考えられません。 ｅの意味を知りません、教えてください。ｅは、『リミットｔ→∞〔（１＋ｔ）〕の1/t乗』の定義は習いましたが、この定義にどういう意味があるのかが分かりません。定義にπが関係しているので、実数になるのでしょうか。 ２ (3)の実計算値、ｉのｉ乗がなぜ 正の実数「約０．２・・（無理数）」の値になるのか、感覚的に意味がわかりません。どのように考えればよいのでしょうか教えてください。 実数では、ｘのｘ乗は、約０．６９より小さくならないのは、感覚的に理解できますが・・・。 ｉに大きさ（スカラー）はあるのかもわかりません。 僕自身わけのわからない質問と思っていますが、よろしく回答をお願いします。 オイラーの公式の用い方 オイラーの公式とド・モアブルの定理を利用して３倍角の公式を証明せよ。という問題のなのですが、私にはオイラーの公式の出番がないように思えます。。。 ド・モアブルの定理 (cosθ+i×sinθ)^n=cosnθ+i×sinnθ でｎ＝３にして実部と虚部を比較するのではだめなのでしょうか？？ 一応。。。 オイラーの公式 e^iθ＝cosθ+i×sinθ 7.2436E8の意味 7.2436E8 など、Eを挟んでその左右に数が1個ずつある表示があるのですが、これはどんな意味でしょうか。Eの左側の数はいつも小数の付いた数で、右側はいつも整数です。用いられているのは、星までの距離を書いているところで、単位は「光年」です。 また、このような書き方は数学的に正式な書き方でしょうか。 数学者オイラーの残したことばについて、 数学者オイラーの残したことばについて、 オイラーの残したことばで「負の数の対数は虚量である」という言葉がありますが、ここに出てくる「虚量（キョリョウ）」とはどんな意味なのでしょうか。元来数学が苦手でしたが、この虚量という言葉がどうしても気になってしまいました。数学に詳しい方で知っている方がいましたらぜひ教えてください。お願いします。 オイラーの公式の右辺をacosx+bisinxに変えてみると オイラーの公式e^(ix)=cosx+ishinxの右辺をタイトルのようにacosx+bisinxと変えると左辺は（a+b)e^(ix)-(bcosx+aishinx)というような初心者には意味があるようなかたちになりますが、これは数学的に何か説明していただけるようなことですか。 世界一美しい式について ｅ＾(iπ)＝－1 世界一美しい式について ｅ＾(iπ)＝－1 の説明過程で論理の飛躍を感じます。 （自然数ｅのiπ乗です） オイラーの等式の説明を読んでいるときに気が付いたことがあります。 その説明を以下に書きます。 『ｅ＾ｘ＝1 + ｘ/1！+ ｘ＾2/2！+ ｘ＾3/3！+ ・・・・（－∞＜ｘ＜∞） →(1)式とする ここで、ｘ＝iｘとおくと、 →(2)とする ｅ＾iｘ＝1 +i ｘ/1！+i ｘ＾2/2！+ iｘ＾3/3！+ ・・・・ →(3)式とする 以降、、、うんぬん、、、 ｘ＝πとおくと、うんぬん、、、 ∴ｅ＾(iπ)＝－1』 ここからが私が思ったことです。 (1)式が表していることは、括弧内の補足から明らかなように、ｘがすべての実数であること、ですよね。 で、(2)で、いきなり変数ｘにixという虚数を代入しているところです。 現在実数域で成立しているはずの、(1)式に、何の説明もなく補足もなく、虚数を代入しているところに、疑問を感じました。 厳密なはずの数学にしては、安易な発想のように思えるのです。 つまり(1)式から(3)式に移る際に、何か重要なものが抜けていると思うのです。 それとも、たとえば、実数で成立する公式などに、虚数を代入しても良いものなのですか？ そこが私の疑問点です。 どうか、宜しくお願いいたします。 数学で、最大値を求めるらしいんですが；； 数学で、ちょっとわからないところがあって困っています。 オイラーの公式を利用して、以下の問題を解け。 αを定数とし、ｘの関数 f(x)=cos(x)+(cos(x+α)/cosα) の最大値をαの関数として求めよ。 解答で、 A=1/cosαとおくと、 z(x)=(e^jx)+Ae^j(x+α) （なんで上のように変形できたのかわかりません。） =(1+Ae^jα)e^jx どなたかなぜ上のように変形できるのかの過程を説明してください。 よろしくお願いいたします。 注目のQ&A 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ご教示ありがとうございます。超越数というのは言葉は聞いていますが、私の理解をはるかに超えているものでした。オイラーの公式の右辺に相当するようなものがないのでしょうか。