約数について

質問

100!の最後に0がいくつ並ぶのでしょうか？
計算するととても長くなってしまいます。
簡単に求める方法はありますか？

10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3628800
0が2つとわかりました。

10!=(2*5)*(3*3)*(2*2*2)*7*(2*3)*5*(2*2)*3*2*1
=2^8*3^4*5^2*7^1
という素数の積なることもわかりました。
しかし、10=2*5にどうし注目するのでしょうか？
そして、どのように求めるのでしょうか？
お願いします。

回答No.7

arukamun · ベストアンサー

2が97個
5が24個
で10は何個出来ますか？
2*5=10
なので、
24個作ると、2が97-24=73個余ってしまいますよね。
2と5が揃わないと10にならないのです。
他の素数の積では10は作れないのです。

お礼

わかりました。
ありがとうございます。

回答No.6

eatern27

＞もし、多い方の97の答えをもし書いた場合不正解ですか？
不正解です。

例えば、20の場合、
20＝2^2*5^1
となって、2と5の指数部分を比べて、大きい方は２ですが、末尾の0の個数は、1つ(＝2と5の指数部分を比べて、小さい方)ですよね。

にしても、このような疑問が出る、ということは、
＞答えは24となることはわかったのですが、
分かってないと思うのですが・・・。

補足

>
20＝2^2*5^1
となって、2と5の指数部分を比べて、大きい方は２ですが、末尾の0の個数は、1つ(＝2と5の指数部分を比べて、小さい方)ですよね

についてよくわかりません。
もう少し詳しく教えていただけませんか？

回答No.5

arukamun

10を何回掛けたかが末尾の0の個数だという事はわかったのですね。
2×5=10
につい考えるのは、10を素数の積に分解して、
100!という計算が大変な物を、
100! = A×(10^z) = A×(2^x)×(5^y)
という式にして、
xとyを数えるんです。
xは
2^1=2　2,4,6,8,・・・,100　50個
2^2=4　4,8,12,16,・・・,100　25個
2^3=8　8,16,24,32,・・・,96　12個
2^4=16　16,32,48,64,80,96　6個
2^5=32　32,64,96　3個
2^6=64　64　1個
2^7=128　0個
で計97個
yは
5^1=5　5,10,15,20,・・・,100　20個
5^2=25　25,50,75,100　4個
5^3=125　0個
で計24個
という事は何個の10が出来るかというと、少ない方の24個となるんです。
但し、x>yは明らかなので5^yだけ計算すれば良いんです。

補足

答えは24となることはわかったのですが、
もし、多い方の97の答えをもし書いた場合不正解ですか？

回答No.4

shiga_3

＃２＝＃１です。
１００を忘れてますね。２４個ですね。あぁ恥ずかし・・・・・。

回答No.3

rmz100

どんな数であれ「×10」すれば末尾は「0」になります。
なので階乗中に「10」になる組み合わせの数で0の数が決まります。
ではその数はいくつなのか？
「2の倍数×5の倍数=10の倍数」ですし、「2の倍数」と「5の倍数」を比較すれば「5の倍数の方が少ない」ので、おのずと「5の倍数」の分末尾の「0」ができます。
ただし、25は「=5×5」ですので、「25の倍数だけさらに0が増えます。」

以上を踏まえまして計算しますと、
1～100までの間の5の倍数は「100÷5=20」で20個、
同じく25の倍数は「100÷25=4」で4個、
20+4=24なので、
100!には24個0が並ぶはずです。

# ちなみに1000!の場合なら上に加えて
・125の倍数はさらに0を追加（計3個）
・625はもう一つ追加（計4個）
といった計算になります。

補足

ありがとうございます。
聞きたいことがあります。
＞どんな数であれ「×10」すれば末尾は「0」になります。
についてはわかりました。
＞「2の倍数」と「5の倍数」を比較をどうしてするのですか？
2×5=10だからですか？
＞「2の倍数」と「5の倍数」を比較すれば「5の倍数の方が少ない」ので、おのずと「5の倍数」の分末尾の「0」ができます。
これについてはよくわかりません。
どうして、2の倍数と５の倍数を比較するのですか？

＞ただし、25は「=5×5」ですので、「25の倍数だけさらに0が増えます。」

どうして、２５についても考えるのですか？

＞1～100までの間の5の倍数は「100÷5=20」で20個、
同じく25の倍数は「100÷25=4」で4個、
100÷2=50は利用しないのですか？

＞# ちなみに1000!の場合なら上に加えて
・125の倍数はさらに0を追加（計3個）
・625はもう一つ追加（計4個）
さらに、高度なとき方ありがとうございます。
どうして、
＞・125の倍数はさらに0を追加（計3個）
・625はもう一つ追加（計4個）
がわかるのですか？
なにか見つける方法があるのですか？

回答No.2

shiga_3

＃１です。
失礼しました、５０と７５にも５×５が含まれますね。
０の数は２３個でした。

回答No.1

shiga_3

０の数はその数の中に（２×５）がいくつ含まれているかによって決まります。１～１００までで２の約数（偶数）に比べて５の約数の数が少ないのは明らかですので、１００！に５がいくつ含まれているかによって０の数が決まります。
５の約数は
5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100
の２０あり、そのうち２５は５×５ですから、含まれている５の数は２１個（つまり１００！は５の２１乗を約数に持つ）ということになり、０の数も２１個ということになります。