約数について

質問

nは自然数でnの約数を小さい方から順に一から並べると
6番目が8で、8番目が14になるという。このようなnのうち最小のものを求めよ。

という問題があってわからなかったんで答え見たんですけど
５６の約数にない３５６のいずれかがnの約数になることがわかるのですか？
わかりやすく教えていただくと幸いです…

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

まあ、その本の回答はどうかいてあるかは放っておき...

もうすこし真面目に考えてみると、
＊一般にある自然数aが自然数bの約数である時、aの約数はすべてbの約数です。これはまあいいでしょう。
＊さらに、自然数c, dが共に自然数eの約数で、かつ『cとdが互いに素』な場合、cd（cとdの積）もeの約数です。素因数分解の一意性から考えてみてください。

この事を踏まえると、8がnの約数であることから、少なくとも1,2,4,8は全てnの約数、また14がnの約数であることから、1,2,7,14は全てnの約数です。
この段階で、nの約数で8以下のものを洗い出してみると、すくなくとも1,2,4,7,8がnの約数であることが分かっています。8以下の約数は6つであることから残り1つしかありません。
で、残る一つが何かを考えてみると、
＊先ず3がnの約数であるとすると、2と3が互いに素であることから、2*3=6もnの約数でなくてはならず、そうするとnの約数で8以下のものが少なくとも7つになって不適です。
＊同様に6がnの約数であるとすると、6の約数である3もnの約数となって、やはりnの約数で8以下のものが少なくとも7つになって不適です。

で、結局残るは5しかありません。で、結局nの約数で8以下のものは1,2,4,5,7,8です。ここで2と5が互いに素であることから、2*5=10もnの約数です。この段階で14以下の約数は1,2,4,5,7,8,10,14の8つあり、これで全てです。
で、結局nはこの8つの数(1,2,4,5,7,8,10,14)の最小公倍数です。

そこで解説に戻ってみると、解説では
＊自然数c, dが共に自然数eの約数なら、「cとdの最小公倍数」もeの約数になる
ことを使っています。つまり、8と14がnの約数なら、8と14の最小公倍数である56もnの約数になります。よって56の約数は全てnの約数なのですが、56の約数で8以下のものは1,2,4,7,8の5つで、8以下の約数は6つあると言っているのだから、のこる3,5,6のうちどれかがさらにnの約数になる、ということです。後は同じです。

結局、私が＊記号で書いた事が分かっているかがポイントです。

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございました!
数の仕組み、グラフ、立体図系はにがてなもので…
残り2ヶ月受験まで頑張りたいと思います！

回答No.2

f272

まず，このようなnは8と14の最小公倍数である56の倍数になっている。
そして，56の約数は
1,2,4,8
7,14,28,56
である。

nの約数として2がいくつあっても，nの約数は
1,2,4,8,16,32,...
7,14,28,56,112,224,...
と言うように横に伸びるだけ。

また，nの約数として7がいくつあっても，nの約数は
1,2,4,8
7,14,28,56
49,98,196,392
343,686,1372,2744
...
と言うように縦に伸びるだけ。

どちらにせよnの6番目の約数が8にはならない。

お礼

回答ありがとうございました！
他の回答者とはまた違う知識が身につきました！