防衛大過去問で、f(x)を求める難問（自分には）を

質問

どこから手をつけたらよいのか、何を使って進めばよいのか、どんな関数（偶関数、奇関数は関係しますか？）になるのか、全くと言っていいほどわからず、非常に困っています。どなたか、解法を教えていただけませんか。どうかよろしくお願いします。

[問題]　関数f(x)で，任意の実数x, yについて

　　　　　　　　f(x+y)={f(x)+f(y)}/{1+f(x)f(y)}　かつ　lim(x→0)f(x)/x=1

　　　　を満たすものをすべて求めよ。
(ただし，f(x)=1, f(x)=-1 は除く。）

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

こういうのはとりあえずx=y=0とおいて、f(0)の候補の
見当をつけます。

つぎに、xは任意の実数、y=0とするとどうなるかを
みます。「ただし・・・」によってf(0)の候補が絞られます。

xは任意の実数、yは0でない任意の実数として
{f(x+y)-f(x)}/y
を計算します。

y→0のときの極限の計算をします。
lim(y→0)f(y)/y=1によりf(y)がy=0で連続であることが
わかり、さらにlim(y→0){f(x+y)-f(x)}/yが存在すること
もわかります。

上の計算によってfについての微分方程式が得られる
のでそれを解きます。

双曲線関数は多分高校で明示的に扱わないので
題材にしやすいのでしょうね。

こういうのは解法を聞いて理解してもダメで、自分で
あれやこれやいじってこねくり回すことが大切です。

お礼

回答をもらって、双曲線関数なるものを目下勉強中です。どうもありがとうございました！

回答No.5

hiccup

No.3, 4 です。
連続性は lim(x→0)f(x)/x=1 を使って解決できました。これは独り言。
連続性という言葉を出ささずに、lim(x→0)f(x)/x=1 を使って関数を１つに決めることができると思いました。

また、No.4 の
> f(x)=1 または -1 なる x が存在すると、「f(x)=1, f(x)=-1 は除く」に反します。
の「f(x)=1, f(x)=-1 は除く」の部分ですが、
「f(x) は常に 1 の関数でもなければ常に -1 の関数でもない」
です。
詳しく書くと、
もしも f(x)=1 となる x があるならそれを a とする。
f(a)=1。
すると
f(x+a)={f(x)+1}/{1+f(x)}
だから、f(x)=-1 となる x は存在せず、f(x+a)=1 を得るが、
f(x+a)=1 は、f(x) が常に 1 である関数を意味し、条件に反する。
f(x)=-1 となる x が存在する場合も同様。

思いつきで書き込むもんじゃないと反省。

お礼

2度も3度も書き込んでもらい、その親切・熱意に頭が下がります。勉強不足を痛感！このジャンルははじめから勉強し直します。本当にありがとうございました。

回答No.4

hiccup

ごめん。
f(x)=1 または -1 なる x が存在すると、「f(x)=1, f(x)=-1 は除く」に反します。
また、連続性については私はパスです。
ごめんね。あとはがんばって！

回答No.3

hiccup

1+f(x+y)={1+f(x)}{1+f(y)}/{1+f(x)f(y)}
1-f(x+y)={1-f(x)}{1-f(y)}/{1+f(x)f(y)}

f(x+y), f(x), f(y) が 1 にならない x, y を除いたところで割れば、1+f(x)f(y) を消すことができるのでは？
あとはよろしく！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
俗に「関数方程式」と呼ばれたりするジャンルですが、
基本的には与えられた条件から満たすべき微分方程式を導き、解くことを考えます。

なので、まずは微分の形：f '(x)が出てくるようにすることを考えます。
xも yも変数だとややこしいので、片方を定数にでもしてしまいます。
　f(x+h)＝ { f(x)+f(h) }/{ 1+f(x)f(h) }

ここから f(x+h)- f(x)の形を作りにいってもいいですし、
分母を払ってから両辺を微分しても構いません。

あと、この手の問題では元の式から、
f(0)や f(1)、f(-1)といった値が求められることが多いです。

「おまけ」に見える条件にも注意しながら、少し試行錯誤してみてください。

ちなみに、この問題は参考書でも結構よく見かけるものです。

お礼

関数方程式の基本さえ解いていませんでしたので、・・・。
微分方程式も含め、その基本問題からやっています。早々とヒントをありがとうございました！