測定値と半減期から現在の産生量を得る式の導出方法

質問

自分で考えてみたのですが、わからないので教えてくださる方がいれば幸です。
臨床医学の問題ですが、内容は純粋に数式の話です。
具体的には、採血で得られた腫瘍マーカーの値と、その体内半減期から、現在のリアルタイムでの腫瘍マーカー産生量（癌の大きさに比例）を知りたい、というものです。多くの場合、、２-３ヶ月に１回の測定頻度、１週間程度の半減期なので、測定値は大まかには腫瘍量に比例すると臨床的に見なしています。ところが、産生量の急速な変動を見るために数日～２週間程度の間隔で測定した場合、きちんと考慮する必要があります。その計算式を知りたいのです。
簡単のため、半減期ではなく１日あたりの減衰率(r)、１日あたりの産生量(P)、体内の総量(C)で表すことにしますと、
C(t) = rC(t-1) + P(t)
になると思います。すなわち、昨日の体内総量が減衰した遺残に本日の産生量を足したものが本日の体内総量(=測定値に比例)するということです。
これを、
P(t)=f(C) で表したいのです。もちろん、Cは毎日測定するわけではないのですが、補完するなりして推定可能です。
ちょっとわかりにくくて申し訳ありませんが、おわかりの方おられましたらよろしくご回答ください。

回答No.1

spring135

これは基本的にはＰは定数とみて差分方程式を解きP(t)=f(C) の形にしてから意味を考えると言うことになると思います。

C(t) = rC(t-1) + P(t)

C(t)=C(n),P(t)=p(とりあえず一定）,r:定数とすると

C(n)=rC(n-1)+p (1)

C(n)の定常値＝収束値＝αとすると

α＝rα+p　　　　　　(2)

α=p/(1-r)

(1)－(2)より

C(n)-α=r(C(n-1)-α)

即ち

C(n)-p/(1-r)=r(C(n-1)-p/(1-r))　(3)

　　　　　　　=r^(n-1)(C1-p/(1-r))

C(n)=p/(1-r)+r^(n-1)(C1-p/(1-r))

これが差分方程式を解いた形ですが、p=の形にすると

p=[(1-r)C(n)-C1r^(n-1)]/[1/r^(n-1)]

P(t)=[(1-r)C(t)-C(1)r^(n-1)]/[1/r^(n-1)]

この結果をどのように使うかは、測定技術とも関連してきますので、よく検討してください。