二次元拡散方程式の一般解が求まりません
二次元拡散方程式の一般解が求まりません
すみません、拡散方程式で解けない問題がありまして、どなたかご教授ください。
u(x,y,t)の位置(x,y)と時間(t)のみに依存する関数があり、
拡散方程式
∂u/∂t=D*(∂^2u/∂x^2+∂^2u/dy^2)
（Dは定数）
(0<x<a , 0<y<b)
境界条件は、u(0,y,t)=0.0 , u(x,0,t)=0.0 ,u(a,y,t)=0.0 ,u(x,b,t)=0.0 です。
初期条件は u(x,y,0)=f(x,y) です。
変数分離 u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)
代入後uで両辺を割る T´/(D*T)＝X´´/X+Y´´/Y
後はD*X´´/X＝α、D*Y´´/Y＝β （α、β、kは定数）ここで，k=-(α+β)とおく。
の３つの微分方程式を解いて初期条件、境界条件を用いて定数を決定します。
X(x)=Acos√αx+Bsin√αx
Y(y)=Ccos√βy+Dsin√βy
とおいて、境界条件を代入し
X(0)=X(a)=0
Y(0)=Y(b)=0
X(a)=Bsin√αa=0
α=(nπ/a)^2 (n=1,2,・・・)
Y(b)=Dsin√βb=0
β=(nπ/b)^2 (n=1,2,・・・)
境界条件u(0,y,t)=0.0 , u(x,0,t)=0.0 ,u(a,y,t)=0.0 ,u(x,b,t)=0.0がときのものは
一般解を求められました。
次に，
境界条件u(0,y,t)=0.0 , u(x,0,t)=0.0 ,u(a,y,t)=1.0 ,u(x,b,t)=0.0のときの一般解を求めたいのですが、上手く出来ません。
X(x)=Acos√αx+Bsin√αx
Y(y)=Ccos√βy+Dsin√βy
とおいて、境界条件を代入し
X(0)=0
X(a)=1
Y(0)=Y(b)=0
X(a)=Bsin√αa=1
Y(b)=Dsin√βb=0
β=(nπ/b)^2 (n=1,2,・・・)
X(a)=Bsin√αa=1をどう解けばいいのか分かりません。
ご教授お願いします。
お礼
役に立ちました！ありがとうございます。