空間内の２点の線分がつくる回転体の曲面に関する２問

質問

もともと立体に弱いのか、次の問題の曲面などが、どうもうまく描くことができません。それで、解き始めからつまづいている有様です。解説してもらうのに図示できませんから、座標や式から逆に図式化しながら、自分で納得したいと思っています。面倒な問題になりますが、よろしくお願いします。

空間内の２点A(-2, 2, 1)，B(2, t, 2)を通る直線ABをx軸のまわりに１回転してできる曲面をS(t)とするとき、次の問いに答えよ。
（１）　tの値を適当に決めると、曲面S(t)とxy-平面との交線はy軸について対称となる。そのようなtの値をすべて求めよ。また、それらのtの値に対する交線の式を求めよ。
（２）　曲面S(t)と２平面x=-4, x=4とが囲む立体をV(t)とする。（１）で求めたtの値に対する立体V(t)の共通部分をVとするとき、Vの体積を求めよ。

回答No.1

tekcycle · ベストアンサー

私なら、まずはなるべく立体で考えないようにしますね。
その二つの点を通らない直線も含めると、一般的には勿論色々な直線があるわけですが、それをｘ軸を中心に回転させた図形を、ｘｚ平面で切った断面を考えるでしょう。
ある直線が、ｘ＝ｓのとき、まぁ点Ｐ(ｓ,ｙp,ｚp)(つまりどこかの謎の点Ｐ)を通っているわけですが(ｙｚ平面上の直線以外は)、その点Ｐをｘ軸中心に回転させたときに、ｘｚ平面とどこで(点Ｑ)交わるのか。点Ｑは、ｘ＝ｓ,ｙ＝０とは決まってますが、じゃぁｚqはいくつなのか。ｚqとは何なのか。
つまりこれで、直線を回転させる、という複雑なことから、点を回転させたらどうなるか、という問題にすり替えます。ｚqって何よ、って。

で、ｓを変えていくと点Ｑはどういう軌跡を描くのか。
と考えます。
断面が見えれば、あとはその断面を、ｘ軸中心にくるりと回してやれば、立体が見えてきませんかね。
定積分もすれば良いのでしょう。

まずはここまで。

立体を立体のまま正確に把握認識するのは、たぶん不可能なんだと思います。
どうやったら認識できるんだろう。
幸い、ｘ軸での回転図形。何か回してみたらどうなるだろう。じゃぁどうすれば把握認識できるだろう。
そもそも回してみたらどうなるの？と考えたんですが。
把握認識できた上で立体に戻す分には、こりゃ見えそうですよね。まずしっぽを掴んでやる。
点ＡＢを通る直線、に関して考えるのは、まずは諦めました。
一般論を検討してからにしてみよう、と。

ちゃんと解いてないんで、上記が正確かどうかは判りかねます。

お礼

お詫びします。質問してから、ＰＣがダウンしてやっと修理が終わり、回答を読むことができました。
解いたことがない問題には、その方針が大事になりますが、このような親切なヒントをいただき、本当にありがとうございました！！

回答No.2

tekcycle

それと、点ＰＱに関しては、ｘ＝ｓという平面を、立体をyz平面と平行にｘ＝ｓのところで切った断面を、考えると良いでしょう。
yz平面と平行な面に、点Ｐというどこかの一点があるわけです。それを、ｘ軸、この平面に於いては原点中心に回してやって、それがｚ軸と交わるところが点Ｑです。
その座標は、ｙ＝０に決まってますし、ｚ＝ｚqとなるわけです。(ｘ＝ｓ)
じゃぁそのｚqってなんの長さでしょう、と。

お礼

お礼が大変遅くなり、すみませんでした。
なるほど、そのような断面を考えていけばよいのですね。貴重なヒントをどうもありがとうございました。