場合の数について質問です

質問

４つの窓と、4色のカーテンが各色4枚以上あります。
なんの条件もなくカーテンをかける場合、何通りのかけ方がありますか？

答えは２５６通りとなっています。

これまで答えが少ない場合は樹形図でなんとかやってこれたのですが、２５６通りとなるとなんらかの式にしないといけないのですが、全く解らず困っています。

途中式の解る方、どうかよろしくお願いいたします。

回答No.3

hisappy

数学的な面での考え方は他の回答者さんにまかせるとして、
考え方の一つのようなもの、１つの視点としての回答をしてみます。

四つの窓を並べたもの（ＯＯＯＯ）を４桁の数字と見て、
四色のカーテンの色を１～４の数字に対応させて
各色四枚以上ということは、それぞれの色（数字）の
タイル（みたいなもの）が四枚以上ある。
と考えて見ましょう。

これを問題文の「何通りのかけ方」に対応させると
「四桁の数値が何種類つくることができますか？」
という感じになります。

樹形図のイメージで始めから終わりを書き出してみると
「１１１１」から「４４４４」でずらっと整列させることができます。
これはつまり四桁の四進数風になります。
（実際の四進数なら「００００」から「３３３３」なのですが。。。）

日常で使用している十進数が十倍、十倍で桁上がりするように
この場合は四倍、四倍で桁上がりになります。

四桁分を計算すると四の四乗つまり２５６通りとなります。
４＊４＊４＊４＝２５６

樹形図展開すると
１１１１
１１１２
１１１３
１１１４
１１２１
（中略）
１２１１
１２１２
（中略）
（中略）
４４４４

数字を色に変換すると、＃１さんの樹形図のようになります。

回答No.2

suzu_o

No.1です。
わかりにくくてすみません。

＞この樹形図では３つめからの枝わかれになっていますが、なぜ２つめからの枝が無いのかが解らないのです。

この樹形図は、樹形図を途中まで書いてみて
式を立てるヒントにする、という考え方を説明した図なので
書きかけの図なんです。

枝分かれをしない訳ではなくて、この図ではまだ
赤・赤・？・？　のパターンまでしか書いていないだけです。

回答No.1

suzu_o

4*4*4*4=256

窓ABCDと赤青黄緑のカーテンがあるとして、
窓Aにかけるカーテンの色は４通りですね。

各色のカーテンは4枚以上あるということですので、
仮に窓Aに赤いカーテンをかけたとしても、窓B,C,Dにも赤いカーテンをかけることができます。

つまり、窓B,C,Dもカーテンのかけ方はそれぞれ4通りです。
このため　4*4*4*4＝256通り　となります。

わかりにくければ、途中まで樹形図を書いて式を考えます。
添付の図をみると、「もし窓が２つ（CとD)だけなら4*4＝16通り」であることが解ります。
窓が４つになので、4*4*4*4＝256　です。

お礼

素早い解説をありがとうございます。

申し訳ないのですが、もう少し補足をお願いできますでしょうか。

この樹形図では３つめからの枝わかれになっていますが、なぜ２つめからの枝が無いのかが解らないのです。

これは何故なのでしょうか？