弧度法の問題について。

質問

この問のある部分がわからないので、わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。

問．θが既知であり、Δθが小さいとき、sin(θ＋Δθ)を求めよ。

解答
sin(θ＋Δθ)＝sinθcosΔθ＋cosθsinΔθ
Δθが小さい事から、sinΔθ≒Δθ，cosΔθ≒1としてよい。
∴sin(θ＋Δθ)＝sinθ＋Δθcosθ
ここにΔθはラジアン単位である。

この解答の
「Δθが小さい事から、sinΔθ≒Δθ，cosΔθ≒1としてよい。」
と言う部分がなぜ、≒それでいいのかがわかりません。ラジアン単位と言うのも関係してると思うのですが・・・。

知ってる方、よろしく願いします。

回答No.4

ht1914 · ベストアンサー

ラジアンについてです。

円周の長さが二倍になれば角度は２倍になります。円周を角度の定義に使うことが出来ます。ただ大きい円、小さい円で円周は異なりますので半径を共通にする必要があります。そこから「円周の長さが半径に等しいときの角度を１とする」という定義が出てきます。これは分かりやすい定義です。

円周上の距離がそのまま角度に結びつきますので円周上の運動を表すのには都合の良い角度です。
円運動、周期運動の表現に向いている角度です。三角関数も円運動、周期運動の表現に必要な関数ですからラジアンを使うことになります。静的な図形だけの問題であればどちらの角度の定義でも同じ事だと思います。
ｓｉｎθ≒θ　の関係は単振動の性質を導くときに必須です。振り子の周期が振幅によらず一定になるという関係です。ｖ＝ｒω　の関係で角速度と円周上の速度とが自由に変換されます。万有引力の働いている空間の中での惑星の運動も（ｘ、ｙ）座標から（ｒ、θ）座標への変換で導くことが出来ます。

お礼

返答ありがとうございます。

ラジアンの説明がわかりやすかったです。
最後のほうの説明は高度でイメージが沸きませんでしたが、参考にさせていただきました。ありがとうございました。

回答No.5

kkkk2222

＃３です。
漠然と思考していた事が、かなり明瞭に書かれたＵＲＬを見つけましたので、ＬＩＮＫします。
http://www.nikonet.or.jp/spring/radian/radian.htm
要はで＜きるだけ簡明になるよう定義する。＞でしょうか。

大きく言えば、＜どっちが先なの？＞です。
何故ラジアンが必要か、の疑問に答えてくれたのが、
(sinX)/X→１　でした。
これを解したので、ネピア数の導入も自然に思いました。
＜(sinX)/X→１　の証明は循環論法＞なる説にも影響を受けています。

著名な＜どっちが先なの？＞の例として、
三平方の定理の証明は何故必要か？
ユークリッド空間ではＮＯＲＭはｄ＾２＝ｘ＾２＋ｙ＾２で定義されているはずです。
これに関しては、＜証明の必要はなく、三平方の定理は合同の定義と同値である。＞と明確な答を得ています。

お礼

ご返答ありがとうございます。内容を完全には理解できませでしたが、概念的なものは少しつかめた気まします。ありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

＞ラジアン単位と言うのも関係してると思うのですが・・・。
意味を解しておりません。
当方は、ラジアンのＭＥＲＩＴは
（sinθ）'=-(cosθ)　と機能的になる・・・
ネピア数eの導入により
（e^x)'=（e^x)　と機能的・・・
＜機能的＞とは＜本質的＞と＜同義＞なのでしょう。

お礼

返答ありがとうございます。
知識が足りなくて、申し訳ございませんでした。
内容が高度すぎてわかりませんでしたが、ありがとうございました。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

図形的な意味合いからですが。

まず、「弧度法」はよろしいでしょうか？
角度の単位「ラジアン」の定義は、「半径１の円の中心角が、切り取る弧の長さ」です。
図を書いてみると、半径１の扇形における弧の部分の長さが、そのまま中心角の大きさ（単位・ラジアン）になります。

一方で、この扇形で、sinθ（θ は中心角とします）の長さはどこになるでしょうか？
扇形の弧の一方から反対側の半径におろした垂線になります。
これは、中心角が小さい時には、この長さとほとんど同じであることがわかると思います。
つまり、θが十分小さい時、半径１の扇形に於いて、
θ＝扇形の弧の長さ≒sinθ
ということになります。

お礼

返答ありがとうございます。
すごくわかりやすかったです。高校のときにもっと数学をちゃんと勉強しておけば良かったです。。。

回答No.1

mgsinx

一番わかりやすい方法は、グラフを書いてみることです。
y=sinxのグラフはx=0でy=0であり、且つ傾きが1となります。
y=xとy=sinxのグラフを同じ1つの座標平面に書くと、x=0付近で2つのグラフのyの値が非常に近くなるということがわかります。
このことから、xが十分小さいとき、x=sinxと近似できます。

同様に
y=cosxのグラフはx=0でy=1であり、且つ傾きが0となります。
y=1とy=cosxのグラフを同じ1つの座標平面に書くと、x=0付近で2つのグラフのyの値が非常に近くなるということがわかります。
このことから、xが十分小さいとき、cosx=1と近似できます。

お礼

すごくよく理解でしました。
cosの方はなんとなく理解できてた(cos0°＝1なので)のですが、
sinの方がわからなかったので、この説明で理解できました。

ありがとうございました。