物理学の質問です。

質問

下図のような、電圧V0に充電された電気容量Cのコンデンサーと抵抗Rからなる回路において、時刻t=0でスイッチSを閉じた。導線の抵抗は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。
1) Rを流れる電流I(t)を時間tの関数として求めよ。

→http://okwave.jp/qa/q6987623.htmlにあるように、V0を初期条件とするのがよくわからないです。

I(t)R＋Q/C=V0
ではだめなのでしょうか？

また、よければリンクの質問にも回答をお願いします。

※リンクで補足質問しているにもかかわらず、このように再度質問したのは図を添付するためなのでご了承ください。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

> I(t)R＋Q/C=V0
> ではだめなのでしょうか？

この式だと，何か起電力V0があって，その起電力V0が，コンデンサの電圧Q/Cと抵抗両端の電圧I(t)Rの和と釣り合っている，という意味になります．
しかるに，この回路には起電力は存在しませんから，この式じゃだめです．

キルヒホフの第2法則によると，時刻tにおけるコンデンサの電荷をQ(t)として，
(負荷による電圧降下 =) R I(t) - Q(t)/C = 0 (= 回路の起電力). …(1)

ただし，I(t)はコンデンサから流出する電流なので，
I(t) = -dQ(t)/dt. …(2)

また，時刻t = 0におけるコンデンサの電圧がV0であることから，(1)より
0 = R I(0) - Q(0)/C = R I(0) - V0
∴I(0) = V0/R. …(3)

(1)と(2)より

dI(t)/dt + I(t)/(C R) = 0
∴I(t) = I0 exp{-t/(C R)}.

I0は初期条件によって決まる定数で，
初期条件(3)をみたすのは
I0 = V0/R.

以上より
I(t) = (V0/R) exp{-t/(C R)}.

なお，V0が初期条件とみなせる理由は，
コンデンサの電圧はQ(t)/Cと表せ，時刻t = 0におけるこの値はV0なわけですが，
スイッチSを閉じると，時間につれてコンデンサからは電荷が電流として流出し，
Q(t)は時間につれて減少していくわけで，
結果として，電圧Q(t)/Cも時間につれて減少します．
電圧がV0なのは時刻t = 0にスイッチSを閉じるまでの間だけであって，
V0はコンデンサに固有の不変の性質ではありませんから，
「コンデンサの電圧がV0なのはスイッチSを閉じるまでの，最初の間だけ → 初期条件」
とみなせます．

お礼

回答ありがとうございます。

>(1)と(2)より
dI(t)/dt + I(t)/(C R) = 0
∴I(t) = I0 exp{-t/(C R)}.

→I(t)R+Q(t)/C=0
(dQ(t)/dt)+Q(t)/(CR)=0
logQ=-t/RC+C(t)
Q(t)=C(t)e^(-t/RC)
ではないのでしょうか？

電圧というのは、回路中のコンデンサーのt=0時の定められた値であり、
起電力というのは、外から回路全体の電圧に見合うだけかけたものの値と
覚えてもいいでしょうか？

ちなみに電位(差)は電圧と起電力と同じと考えてもいいでしょうか？

回答No.3

noname#154783

> I(t) = -dQ(t)/dtとI(t) = dQ(t)/dtの使い方がわからないです。
> 教科書には両方とも記述されており、それぞれ、『電流が流れると電荷が減少する。電荷Qの減少分が電流Iとして流れるから…』、『コンデンサーに電流が流れ込むとその電荷が増加するから…』と書かれており、流れるか流れ込むの違い(電流がでていくか、入るかの違い)だと思いますが、問題文にも記述されていないので、どちらを使っていいのかわからないです。

飽くまで「私はこうやってる」って話ですが...

問題にコンデンサの向きも電流の向きも指定されている場合には，指定されたとおりに電流の向きを示す矢印を回路図に書き込み，またコンデンサの正極のわきに+を，負極のわきに-を書き込みます．

電流の向きが正極から流れ出る向きであれば
I = -dQ/dt,

電流の向きが正極に流れ込む向きであれば
I = dQ/dt

です．

# なぜなら，「コンデンサの電荷」とは正極の電荷であり，電流が正極から流出すればQは減少，正極に流れ込めばQは増加するからです．

コンデンサの充電回路において電流の向きの指定がない場合，充電回路には必ず電池があるはずなので，普通は電池の正極から流れ出る向きを電流の向きと設定します．その結果，その電流が流れ込む側が正極になります：
I = dQ/dt.
回路図には，この正極のわきに+，反対側の極板に-と書き込んでおきましょう

今回の問題のように，コンデンサの放電回路においてコンデンサの向きも電流の向きも指定がない場合は，まずコンデンサの向きを勝手に決め，回路図の正極のわきに+，負極のわきに-と書き込みます．で，電流は正極から流出するはずですから，回路図に，電流の向きを示す矢印を正極から流出する向きに描き込みます：
I = -dQ/dt.

以上，飽くまで我流ですが，ご参考までに．

お礼

わかりました。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#154783

私はANo.1の方程式(1)の両辺をtで微分して，I(t)についての微分方程式に帰着させました．
なぜなら，この問題で求めるのはI(t)ですから．

> →I(t)R+Q(t)/C=0
> (dQ(t)/dt)+Q(t)/(CR)=0
> logQ=-t/RC+C(t)
> Q(t)=C(t)e^(-t/RC)
> ではないのでしょうか？

引用部2行目までは正しいと思います．
で，変数分離形の微分方程式として扱うなら

dQ(t)/dt = -Q(t)/(C R).
dQ/Q = -dt/(C R)
∫dQ/Q = -1/(C R) ∫dt
log|Q| = -t/(C R) + K

ただし，Kは任意定数(積分定数)

このように，両辺をtで不定積分したことによって現れる積分定数Kは決してtには依存しません．さらに計算を進めると，

|Q| = exp{-t/(C R) + K} = e^K exp{-t/(C R)}
Q = ±e^K exp{-t/(C R)} = Q0 exp{-t/(C R)}.

ただし，Q0 = ±e^K は0でない任意の定数(Kは任意なので)．
また，Q(t) = 0 (恒等的に0)は確かに元の微分方程式を満たすので，
Q0 = 0 の場合も解として許される．

以上より，微分方程式
dQ/dt + Q/(C R) = 0の一般解は
Q(t) = Q0 exp(-t/(C R)).

で，時刻t = 0において電圧がV0なんだから，電荷は
Q(0) = C V0.
この初期条件を満たすのは
Q0 = C V0.

∴Q(t) = C V0 exp(-t/(C R)).

で，求めるのは I(t) = -dQ(t)/dt なので，上の式を微分すると，

I(t)
= -dQ(t)/dt
= 1/(CR) ×C V0 exp(-t/(C R))
= (V0/R) exp{-t/(C R)}.

このように，正しい結果は得られるのですが，
「Qを求めてからIを求める」というのが回りくどいので，
私は方程式(1)の両辺をtで微分して，I(t)についての微分方程式に帰着させたんです．

> 電圧というのは、回路中のコンデンサーのt=0時の定められた値であり、

というか，この問題では，時刻t = 0におけるコンデンサの電圧がV0ということです．

> 起電力というのは、外から回路全体の電圧に見合うだけかけたものの値と覚えてもいいでしょうか？

「外から」かどうかは別として，逆に回路の起電力に見合うように電流の値が決まり，結果として回路全体の電圧降下の合計が起電力に見合うようになります．

> ちなみに電位(差)は電圧と起電力と同じと考えてもいいでしょうか？

むしろ「電圧」という言葉が「電位差」と「起電力」を合わせたものだと考えた方がいいのではないかと思います．

# 「電位差」は「電圧」にひっくるめて考えない方がいいでしょう．

# 実際のところ，回路を解くにあたって「電位差」と「起電力」を厳密に区別しなきゃならない局面は少ないと思います．

お礼

そういうことでしたか。
ありがとうございました。
最後に、

I(t) = -dQ(t)/dtとI(t) = dQ(t)/dtの使い方がわからないです。
教科書には両方とも記述されており、それぞれ、『電流が流れると電荷が減少する。電荷Qの減少分が電流Iとして流れるから…』、『コンデンサーに電流が流れ込むとその電荷が増加するから…』と書かれており、流れるか流れ込むの違い(電流がでていくか、入るかの違い)だと思いますが、問題文にも記述されていないので、どちらを使っていいのかわからないです。