合成関数の定義域・値域

質問

ある関数f(x)とg(x)があったとき、f(x)の定義域がg(x)の値域を含む場合、合成関数(f○g)(x)が考えられると学んだのですが、それは理解できました。しかし、合成関数(f○g)(x)の定義域が、g(x)の定義域と等しいというのがなぜそうなるのか良く分かりません。f(x)の定義域はg(x)の値域と同じかそれより広いはずなので、合成関数(f○g)(x)の定義域は狭い方のg(x)の値域と同じになるのでは、と思ったのですがどうでしょうか。
ご教授よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

(f○g)(x)＝f(g(x))となりますよね。
この形で関数 f(x)だけをみれば、g(x)の値域でよさそうにも見えます。
しかし、逆の言い方をすれば、g(x)の値が存在しないと f(g(x))の値も与えられないことになります。
g(x)の値が存在するためには、xはg(x)の定義域になければなりません。

結果、合成関数 (f○g)(x)の定義域は、g(x)の定義域に同じとなります。

お礼

ご回答ありがとうございます。g(x)の値域が存在するにはその前提にg(x)の定義域が存在しないといけないということですね。大変助かりました。