逆関数の合成

質問

(f◯g)^(-1)=g^(-1)◯f^(-1)
を示したいのです。
合成関数の定義から明らかだと思うのですが、式変形などによって(左辺)＝(右辺)の形に持っていくなどして示すことは出来るのでしょうか？
誰か教えてください。

回答No.1

springside · ベストアンサー

こういうのではだめですか。

(f○g)○[？]=恒等関数となるような[？]が逆関数であることを用いる。

今、
(f○g)○(g^(-1)◯f^(-1)) = f○f^(-1)　（※）
=恒等関数
なので、g^(-1)◯f^(-1)はf○gの逆関数である。

（※）左辺の左から２番目の○の部分は、g○g^(-1)であり、これは恒等関数だから。

回答No.3

jmh

（ｆ○ｇ）^（－１）
　　＝（（ｆ○ｇ）^（－１））○（id）
　　＝（（ｆ○ｇ）^（－１））○（ｆ○（ｇ○（ｇ^（－１）））○（ｆ^（－１）））
　　＝（（ｆ○ｇ）^（－１））○（ｆ○ｇ）○（ｇ^（－１））○（ｆ^（－１））
　　＝（id）○（ｇ^（－１））○（ｆ^（－１））
　　＝（ｇ^（－１））○（ｆ^（－１））

等号の理由は次のとおり:
　恒等 id を合成。
　id＝ｆ○（ｇ○（ｇ^（－１）））○（ｆ^（－１））。
　○は結合的。
　（（ｆ○ｇ）^（－１））○（ｆ○ｇ）＝id。

回答No.2

nickdayo

（左辺）＝（右辺）みたいな形に持っていかないとダメですか？
例えば下のような感じではどうでしょう？
iは恒等関数とする。「・」は合成の意味で使います。

(g^(-1)・f^(-1))・(f・g)
= g^(-1)・f^(-1)・f・g
= g^(-1)・{f^(-1)・f}・g
= g^(-1)・i・g
= g^(-1)・g
=i

なので、{g^(-1)・f^(-1)}は(f・g)の逆関数だから、
(f・g)^(-1) = g^(-1)・f^(-1)
になりました。