数学の問題でお願いします。

質問

異なるn個の実数a1, a2, .....an の逆数が等差数列の時、a1a2, a2a3, .....an-1anの相加平均と1/2(a1^2+an^2)の大小比較せよ。
の問題が分かりません。
ご教授お願いします。

回答No.1

noname#182732 · ベストアンサー

後者の方が大きい

仮定より
何らかの
c≠0
があり
全てのkについて
{1/a(k+1)}-{1/a(k)}=c
よって
a(k)a(k+1)={a(k)-a(k+1)}/c

ゆえにその相加平均は
[{(a(1)-a(2))/c}+{(a(2)-a(3))/c}+...+{(a(n-1)-a(n))/c}]/(n-1)
={a(1)-a(n)}/{(n-1)c}

{1/a(n)}-{1/a(1)}=(n-1)c
であるからこれは
a(1)a(n)
に等しい

0<(1/2){a(1)-a(n)}^2
=(1/2){a(1)^2+a(n)^2}-a(1)a(n)

お礼

ありがとうございます。
相加平均の変形までで詰まりました。
公差で変形するのですね。
参考になります。