調和数列

質問

各項が0でない等差数列１,a2,a3…があり、逆数の作る数列1,1/a2,1/a3....もまた等差数列であるという。anを求めよ。

答がan=1 となるのはなんとなくわかるのですが、なぜ公差が0となるのか一般項の式などから導こうとしてもスッキリしません。途中の式の詳細をご教示いただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

等差数列であることから
2a[2]=a[3]+1...(A)
2/a]2]=1/a[3]+1...(B)
が成り立つ。(A)からa[3]を求めて(B)に代入すれば
2/a[2]=1/(2a[2]-1)+1
2(2a[2]-1)=a[2]+a[2](2a[2]-1)
2a[2]^2-4a[2]+2=0
(a[2]-1)^2=0
となってa[2]=1です。

お礼

早速の回答、深謝です。ずっとわからなくて、もやもやしていましたがスッキリしました。また何かありましたらよろしくお願いします。

回答No.2

staratras

等差数列１,a2,a3…の公差をdとすると、
a2=1+d,a3=1+2d だから
逆数をとった
1,1/(1+d),1/(1+2d)…も等差数列である
第2項と初項の差　{1/(1+d)}-1=-d/(1+d)
第3項と第2項の差 {1/(1+2d)}-{1/(1+d)}=-d/{(1+d)(1+2d)}
両者は等しくなければならないから
-d/(1+d)-[-d/{(1+d)(1+2d)}]=-2d^2/{(1+d)(1+2d)}=0
したがってd=0