数列の問題です＾＾；手も足も…でないです。

質問

普通の数列より難しく感じます…。数列での証明などと^^；
自分の頭では手も足もでません…。
教えていただけたらありがたいです！お願いします。

≪※これ以下に表す『a1』は数列{an}の初項で『a2』は同様に数列{an}の第二項とします。≫
[問題１]
（１）x>0のとき,2/3(x+1/x^2)≧2^(1/3)が成り立つことを示せ。
【自分の考え】
相加相乗を使うのかと考えてみたのですが＾＾；
できません＾＾；

（２）数列｛an｝をa1=2,a(n+1)=2/3(an+1/(an)^2)で定める。
　）ｎ≧１において,an>a(n+1)>2^(1/3)を示せ。
【自分の考え】
（１）を使って解くと思うのですが…^^；

　）n≧2のとき,a(n+1)-2/(an)^2<2/3(an-2/(a(n-1)^2)を示せ。
【自分の考え】
これも全くって感じです^^；

　）n≧1のとき,0<a(n+1)-2/(an)^2≦(2/3)^(n-1)を示せ。
【自分の考え】
これも…すみません^^；

[問題２]
a1=2,b1=1,a(n+1)=1-1/(an)^2,b(n+1)=1-(bn)^2/(an)^2で定める。b2,b99を定めよ。
【自分の考え】
考え方もわかりません。普通の数列のレベルでないので…。

どこでもいいので、教えていただけたらうれしいです＾＾
よろしくお願いします。

回答No.1

sinisorsa · ベストアンサー

とりあえず、問題１の（１）だけ

＞（１）x>0のとき,2/3(x+1/x^2)≧2^(1/3)が成り立つことを示せ。
左辺は（2/3)(x+1/(x^2))として考えました。
f(x)=(x+1/(x^2))とおき、f(x)の極値問題を解きます。
f'(x)=1+(-2)x^(-3)=0より　x^3=2 すなわち、x=2^(1/3)
このとき、極小であることを確かめれば、x>0の範囲で
最小値が求められます。最小値は(3/2)2^(1/3)となります。
後は式を与式のように整理すれば終わりです。

お礼

ありがとうございました。
問題が見にくくなっていて、申し訳ありませんでした^^；
できるだけ気をつけます^^；

補足

x=2^(1/3)のとき（極小のとき）に最小値(3/2)2^(1/3)を持つのですか？f(x)にx=2^(1/3)を代入して計算しようとすると、f(x)=2^(1/3)+2^(-2/3)となってしまいます。どうしてでしょうか？^^；

回答No.3

osu_neko09

では[問題２]の方針を。
＞a1=2,b1=1,a(n+1)=1-1/(an)^2,b(n+1)=1-(bn)^2/(an)^2で定める。
a2がa1から求まるので、求めましょう。
b2がa1とb1から求まるので、求めましょう。
a(2)=1-1/(a1)^2,b(2)=1-(b1)^2/(a1)^2　で、a1とb1が定数で与えられているのですから、代入して、計算してください。
以下、a3,b3が求まり、a4,b4が求まり、a5,b5が求まります。
ここまで来れば、anはともかく、bnの一般項の一部が判るはずです。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

debut

(1)は、その通り、相加相乗で。
a,b,cが正のとき、(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)です。
aをx,bをx,cを2/x^2とみれば。

お礼

ありがとうございました！