複素数に関する方程式です

質問

z^4+(1-a^2)*|z|^4ーa^2*(z(共役))^4=0
の解をz=x+yiと表すときxとyが満たす関係式は？
解き方教えてください
とりあえず強引に計算したら
(z^2+z(共役)^2)(z^2-a^2*z(共役)^2)=0
となり
はじめのカッコからx^2=y^2
二個目のカッコは？
→わかんない(´；ω；｀)
という感じです
お願いします

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

>とりあえず強引に計算したら
(z^2+z(共役)^2)(z^2-a^2*z(共役)^2)=0

よく解けましたね。

強引でなく複素数の扱いの普通の方法で行くと

z=x+iy, zc(共役)=x-iy

|z|^2=zzc

>z^4+(1-a^2)*|z|^4ーa^2*(z(共役))^4=0

zc^4でわるとQ=z^2/zc^2を用いて

Q^2+(1-a^2)Q-a^2=0

(Q+1)(Q-a^2)=0

1)Q=-1

z^2+zc^2=0

x^2=y^2

これが質問者の言う最初のかっこの解です。

2)Q=a^2

z/zc=±a

z/zc=(x+iy)/(x-iy)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)-i2xy/(x^2+y^2)=±a　　　(1)

ここでaの条件が問題になります。

aを実数とするとxy=0となりこれを実数部分に用いるとa=±1

となります。

これを元々の式に代入すると

z^4=zc^4

z=±zc

となりxy=0に帰着しますが

いかにもつまらない結果です。

この問題の面白さはaを複素数として扱うことです。

aが実数という条件がない以上これが正論です。

a=c+id(c,dは実数）とおくと

(1)より

(x^2-y^2)/(x^2+y^2)=±c (2)

2xy/(x^2+y^2)=±d　　　　　(3)

(2)^2+(3)^2を作ると

c^2+d^2=1 (4)

この条件下で(2),(3)を考えればよい。

式の形から極座標表示で片が付くことがわかります。

x=rcosθ

y=rsinθ

を(2)、(3)に代入すると

cos2θ=±c

sin2θ=±d

よって

θ＝±(1/2)tan^(-1)(d/c)=±(1/2)arctan(d/c)

つまり複素数aの偏角の（1/2）の方向の直線も解だということです。

お礼

ひえ～僕にとってこの問題（過去問）は難しすぎました
ヽ(´Д`；)ノ
複素数のおすすめの教科書教えてください(o>ω<o)
僕の参考書にこのレベルの問題が載っていません
もう少し基礎を固めたいと思います
詳しい解説ありがとうございました

回答No.1

info22_

与方程式に
z=x+iy,z~=x-iy（x,yは実数）
を代入して整理すると
2(x-y)(x+y){(a-1)(a+1)(y-x)(y+x)+2i(1+a^2)xy}=0
これを解くと
「y=±x」または「(a-1)(a+1)(y-x)(y+x)=0かつxy=0」
これは
「y=±x」または　「xy=0(a=±1のとき)」
とまとめられるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。ヽ(*´∀｀)ノ