√(x-1)＞x^2-7

質問

√(x-1)＞x^2-7

実数範囲です。
助けてください。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

y=√(x-1)とy=x^2-7のグラフ(添付した図の赤い色）を描いてみればわかりやすいと思います。

交点Aのx座標を求めるために、それぞれを2乗して考えると、y=x-1とy=(x^2-7)^2 は2点で交わること(図の青い色）、つまり４次方程式x^4-14x^2-x+50=0は2つの実数解を持ち、このうち大きい方の解（点Bのx座標）が求める交点Aのx座標に等しいことがわかります。

ここでは、正攻法(？)で4次方程式x^4-14x^2-x+50=0…(1)の実数解を求めてみます。

上の方程式にはx^3の項がないので、(1)が二つの2次式に分解できたとすれば
(x^2+ax+b)(x^2-ax+c)とおけます。(a,b,cは0でない実数)
展開すればx^4+(b+c-a^2)x^2+a(c-b)x+bc　となり、(1)の左辺と係数を比較すると
b+c-a^2=-14 …(2)
a(c-b)=-1 …(3)
bc=50 …(4)
(2)から　b+c=a^2-14
(3)から　b-c=1/a
よって　2b=a^2-14+1/a
2c=a^2-14-1/a
辺辺かけて
4bc=(a^2-14)^2-(1/a)^2
(4)を代入し、a^2=Aと置き換えると
(A-14)^2-1/A=200
A^3-28A^2-4A-1=0 …(5)
A^2の項がじゃまなので、y=A-28/3とおき
A=y+28/3 を代入して整理すれば
y^3-(796/3)y-44939/27=0
上の3次方程式は判別式が正なので実数解が一つあります。
ここでこれをy=u+vとおいて代入して整理すれば
u^3+v^3-44939/27+(3uv-796/3)(u+v)=0
よってu^3+v^3-44939/27=0 …(6)
(3uv-796/3)(u+v)=0 …(7) となるu,vを求めます。
(6)(7)からvを消去すれば
u^6-(44939/27)u^3+(796/9)^3=0 …(8)
(８)をu^3についての2次方程式とみなして解くと
u^3=1/2(44939/27±(1/3)√(77051/3）
u、vは対称なので、複号の一方をu^3とすれば、他方はｖ^3となります。

求めるyはそれぞれの3乗根の和なので
y=(1/2(44939/27+(1/3)√(77051/3）)^(1/3)+(1/2(44939/27-(1/3)√(77051/3）)^(1/3)

A＝y+28/3
a=√(y+28/3)
b=(1/2)(y+28/3-14+1/√(y+28/3))=(1/2)(y+1/√(y+28/3)-14/3)
c=(1/2)(y-1/√(y+28/3)-14/3)

あとはこれらを代入して、x^2+ax+b=0　x^2-ax+c=0 を解けば　4次方程式の厳密な解が求められますが、根号が入った複雑な式になるので具体的な計算は省略します。

せっかくなので、このあとを 数値計算しますと
u^3、v^3は858.913911と805.493496で
y≒18.81005849
A≒28.14339182
a≒5.305034573
b≒7.165946003
c≒6.977445817 となります。

これはx^4-14x^2-x+50が
(x^2+5.305034573x+7.165946003)と
(x^2-5.305034573x+6.977445817）の積に極めて近いことを示しています。
後者のx^2-5.305034573x+6.977445817=0は2つの実数解を持ち
このうち大きな方の解は、x=2.89418263…となって、No.2の方の解と一致します。

もちろん、数値計算で近似解を求めるだけでよければ、このような面倒な計算の必要はなく、ニュートン法などもっと簡単な計算法があります。

回答No.2

info22_

√内≧0より x≧1 ...(1)
(1)の下で
　√(x-1)＞x^2-7　...(2)
を解く。

x^2-7＜0の時　-√7＜x＜√7
(1)より 1≦x＜√7　(3)
この時(2)の左辺≧0、右辺<0 なので常に成立。

x^2-7≧0の時　x≦-√7または　√7≦x
(1)より　√7≦x　...(4)
このとき
√(x-1)＞x^2-7≧0
平方して
　x-1＞(x^2-7)^2
　x^4-14x^2-x+50＜0
(4)の下でこの不等式を解くと
　√7≦x＜2.89418…　(5)
(上限は４次方程式を解かないと√まじりの非常に複雑な長い式になるので数値計算結果で示す)

不等式の解は(3),(5)まとめて
　1≦x＜2.89418…　←（答え）

回答No.1

k14i12d

まず、実数という条件より、1≦x
で、左辺正から、右辺が負なら当然成り立つ。よって、
1≦x≦√7 がわかる。
あとは、両辺正の時を考えれば十分。
両辺正なら2乗を比べても一般性は失わない。つまり、
x-1-x^4+14x^2-49>0で十分。
方程式、
-x^4+14x^2+x-50=0を考えて、xを出して、大小を比べる。
あとの計算はまかせます。