3(9^x + 9^-x)-13(3^x +・・・

質問

3(9^x + 9^-x)-13(3^x + 3^-x)+16=0 を満たす実数xは全部で　□個あり、そのうち最小のxは　□　である。

よろしくお願いします！

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

No.1です。間違えてました。
6cosh(xln9)－26cosh(xln3)＋16＝0
6cosh(2xln3)－26cosh(xln3)＋16＝0

xln3=lntとおくと
6cosh(2lnt)－26cosh(lnt)＋16＝0
cosh(lnu)=(u+1/u)/2、cosh(2lnu)=(u^2+1/u^2)/2より、

3(t^2+1/t^2)-13(t+1/t)＋16＝0
3(t^4+1)-13(t^3+t)＋16t^2＝0
3t^4-13t^3＋16t^2-13t+3＝0
3(t^4-3t^3)-4(t^3-3t^2)+4(t^2-3t)-(t-3)=0

(3t^3-4t^2+4t-1)(t-3)=0
3(t^2-t+1)(t-1/3)(t-3)=0
t=3、1/3、(1±i√3)/2が解となるため、実数解のみを扱うと
x=1、-1となることがわかる。(2個)
最小のxは-1。

回答No.4

mister_moonlight

いずれにしても置き換えは必要になる。
慣れてれば、3^x + 3^-x＝α　とすぐ置き換えても良いが。

3^x ＝αとすると　α＞0　3^-x＝1/α。又、9^x＝(3＾2)x＝α＾2、9^-x＝1/α＾2.
従って、条件式は、3(α＾2＋1/α＾2)-13(α＋1/α)＋16＝0.

ここで、α＾2＋1/α＾2＝(α＋1/α)＾2－2α*1/α＝(α＋1/α)＾2－2　に着目する。

α＋1/α＝mとする。α＞0から　相加平均・相乗平均より　m≧2
この時、条件式は　3m＾2-13m＋10＝(m-1)*(3m-10)＝0　m≧2から　m＝10/3.
α＋1/α＝10/3　から　α＝3、1/3。
(1)　α＝3の時　3^x＝3　から　x＝1.
(2)　α＝1/3の時　3^x＝1/3　から　x＝-1.

これを答案に纏めるだけ。

回答No.2

ferien

＞3(9^x + 9^-x)-13(3^x + 3^-x)+16=0 を満たす実数xは全部で　□個あり、
＞そのうち最小のxは　□　である。
３^x＋３^-x＝ｔとおくと、ｔ＞０
９^x＋９^-x
＝（３^2）^x＋（３^2）^-x
＝（３^x）^2＋（３^-x）^2
＝（３+^x＋３^-x）^2－２×（３^x・３^-x）　…３^x・３^-x＝３^0＝１
＝ｔ^2－２
よって、元の方程式は、
３（ｔ^2－２）－１３ｔ＋１６＝０
３ｔ^2－１３ｔ＋１０＝０
（３ｔ－１０）（ｔ－１）＝０より、
ｔ＝１０／３，１
ｔ＝１のとき、９^x＋９^-x＝１^2－２＝－１＜０となり、これはあり得ないので不適
よって、ｔ＝１０／３

３^x＋３^-x＝１０／３より、３^x＝ｕ＞０とおくと、３^-x＝ｕ^(-1)＝１／ｕ
ｕ＋（１／ｕ）＝１０／３
両辺に３uを掛けて分母を払って整理すると、、
３ｕ^2－１０ｕ＋３＝０
（３ｕ－１）（ｕ－３）＝０だから、
ｕ＝１／３，３
３^x＝１／３＝３^(-1)より、ｘ＝－１
３^x＝３より、ｘ＝１

以上より、方程式を満たす実数ｘは、ｘ＝－１，１の２個で、
最小なのは、ｘ＝－１

でどうでしょうか？

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

3cosh(xln9)－13cosh(xln3)＋16＝0となる。

偶関数だから2個。