統計の問題です

質問

統計の問題ですが答えしか載っておらず解説が無いためわかりません。
親切な方解説をおねがいします。

１，ある大学の期末試験の問題は毎年甲先生が2題、乙先生が8題出題することになっている。
また、これまでの過去のデータから甲先生が出す問題はその8割が難問であり、乙先生が
出す問題はその2割が難問であると分かっている。今、今年の10題の中から無作為に選ばれた1問が
難問であった時、この問題が甲先生の作成した問題である確率はいくらか。

２，宇宙ステーションの空気の漏れを検出する装置は、本当に空気が漏れている場合には95%
の確率で空気の漏れを検出することが知られている。今、この装置を複数個互いに独立に
設置し、全体として空気の漏れを検出する確率を99.999%以上にしたい。このときに
必要となる装置の最小の個数はいくつか。

回答No.1

k14i12d · ベストアンサー

10問のうち、(確率の上での)難問の数は、
甲さんは1.6問の難問を乙さんも、1.6問の難問を作るので、3.2問とわかります。(つまり全事象が3.2。)
甲さんは1.6問の難問を作るので、1.6/3.2=1/2
よって求める確率は1/2。

n個の装置があるときは、どの装置も検出できない確率は、(0.05)^n
よって余事象から、どれか一つでも検出できる確率は1-(0.05)^n
これが99.999%を越えればよいので、1-(0.05)^n≧0.99999
⇔0.00001≧(0.05)^n 両辺常用対数をとって、
⇔-5≧nlog(0.05)
⇔5≦-nlog(0.05)
⇔n≧5/log(20)=5/(log5+2log2)
常用対数の表が無いので、明確な答えは出せませんが、あとは、問題の指示に従って対数を近似値に直して計算して下さい。

お礼

ありがとうございます。
答えも常用対数を代入して確かめたところ二問とも合っていました。
n=4です。

後出しで申し訳ないのですが2問目の問題設定に対数の値が出てきません。おそらくベイズの公式・条件付き期待値あたりを使えば対数を使わずとも出てくると思うのでもしよろしければどなたでもよろしいのでお願い致します。

回答No.2

muturajcp

1.
(2/10)*(8/10)/{(2/10)*(8/10)+(8/10)*(2/10)}
=1/2

2.
1-0.05^n≧0.99999
0.05^n≦0.00001
(5/100)^n≦10^{-5}
(1/20)^n≦10^{-5}
20^n≧10^5
log20^n≧log10^5
nlog20≧log10^5
n≧(log10^5)/log20
∴
n≧(log100000)/log20

100000/20=5000
5000/20=250
250/20=12.5
だから
100000=20^3*12.5
だから
n≧{log(20^3*12.5)}/log20
∴
n≧3+(log12.5)/log20

log12.5<log20
0<(log12.5)/log20<1
3<3+(log12.5)/log20<4
だから
∴整数nの最小値は
n=4

お礼

確認したところ対数の値がなくても出来ました。
ありがとうございます。