統計問題の基礎

質問

以下の統計学の問題の解説を教えてください！

（１）ある会社の１１０人の男性社員の身長の平均と標準偏差は、それぞれ、１７０ｃｍと１０ｃｍである、５０人の女性社員のそれは１６５ｃｍと８ｃｍである。この時、男女合わせた社員全員の平均と標準偏差は以下ののどれになるのか。
平均：　a１６５．４cm　b１６６．４ｃｍ　c１６７．４ｃｍ　d１６８．４ｃｍ　e１６９，４cm
標準偏差： a ８．５cm b８．８cm c９，１cm d９．４cm e９．７cm

（２）ある大学の男子学生と女子学生の身長はそれぞれ正規分布をし、男性の平均は
175cm、標準偏差は10 cm、女性の平均は161 cm、標準偏差は9.8 cm であるとい
う。この大学の男子学生一人と女子学生一人をランダムに選んだ場合、選ばれた男子学生の身長が女子学生の身長より高い確率はおよそいくつか。その確率を記せ。ただし、標準正規分布をする確率変数Z に関しては、付録の数表を利用すること。

（３）ある大学院の入試では、文系科目と理系科目のどちらか一方を選択受験することになっているが、過去のデータから、入試合格者のうち、毎年その1 割は他大学院へ流出すること、ならびに、合格しても他大学院へ流出する者の2 割は理系科目を選択し、その大学院へ入学する者のうち7 割は理系科目を選択することが知られている。このような状況の下で、文系科目を受験して合格した者が他大学院へ流出する確率を計算せよ。

（４）宇宙ステーションの空気の漏れを検出する装置は、本当に空気が漏れている場合には９５％の確率で空気の漏れを検出することが知られている。今、この装置を複数個に独立に設置し、全体として空気の漏れを確率を９９．９９９％以上に増加させたい。この時に必要となる装置の最小の個数はいくつか？

回答No.2

yyssaa

（４）です。
（４）
＞
９５％の確率で空気の漏れを検出するということは、検出ミスの確率は
５％=0.05。独立のn台のミスの確率は(0.05)^n。この値が0.00001より
小さければよいので(0.05)^n＜0.00001を満たすnの最小値が求める個数
になる。nlog(5/100)＜log10^(-5)からn＞-5/(log5-2)、常用対数表で
log5≒0.699なので、n＞-5/(0.699-2)≒3.8
よって求める個数は4個。・・・答え

回答No.1

yyssaa

取り敢えず（１）から（３）。
（１）
＞男女合わせた社員全員の平均をx、分散(標準偏差の二乗)をyとする。
x=(110*170+50*165)/(110+50)=2695/16=168.4375
y={1/(110+50)}*[110*{170^2+10^2-2*170*(2695/16)}
+50*{165^2+8^2-2*165*(2695/16)}]+(2695/16)^2
=24095/256より
男女合わせた社員全員の標準偏差は√(24095/256)≒9.702
よって求める平均はd１６８．４ｃｍ、標準偏差はe９．７cm・・・答え
（２）
＞男子学生の身長マイナス女子学生の身長の分布は、平均175-161=14、
分散(標準偏差の二乗)10^2+9.8^2=196.04の正規分布になる。この分布
の確率変数(男女学生の身長差)をXとすると、X＞0の確率P(X＞0)が求め
る確率になる。標準正規分布を利用するため確率変数をZに変換すると
Z=(X-14)/√(196.04)≒(X-14)/14.001からX=0でZ=-14/14.001≒-0.9999
よって求める確率はP(X＞0)
=P(Z＞-0.9999)=0.5+P(Z＜0.9999)≒0.5+0.3389≒0.84・・・答え
（３）
＞入試合格者を１００人とすると、他大学院へ流出するのは１０人(内
２人は理系科目選択で８人は文系科目選択)で、その大学院へ入学する
者は９０人(内６３人は理系科目選択で２７人は文系科目選択)。
文系科目選択の合格者数は８＋２７＝３５人で、そのうち８人が他大学院
へ流出するので、その確率は8/35≒0.23・・・答え