高校・数Aの円周角の単元のも証明問題について

質問

こんにちは、高校生です。
以下のような問題を解いていました。

〔問題〕
円に内接する四角形ABCDの対角線が直交し，その交点をEとする。このとき，Eから辺CDに下ろした垂線は，対辺ABの中点を通ることを証明せよ。

〔解答〕
EからCDに下ろした垂線をEHとし，HEの延長とABとの交点をMとすると
　　∠MBE=∠ABD=∠ACD（円周角）
　　　=∠DEH（∠DEC=90°，EH⊥CD）
　　　=∠MEB（対頂角）　よって　 MB=ME
△AEBは∠E=90°の直角三角形であるから　AM=BM（=ME）
すなわち，EHはABの中点Mを通る。【終】

問題を見てわからず、解答を見て理解しようとしたのですが、解答の最後から二行目の「△AEBは∠E=90°の直角三角形であるから　AM=BM」という部分が理解できませんでした。それまでのところは理解できました。
とにかく図形の単元が苦手で、どの問題もじっくり解答を読めば、今までは理解できていたのですが、この問題に限ってはどうにもわかりませんでした。

簡単なことだったりしたらすみません。解答の最後から二行目の部分がどうしてそのように言えるのかを教えてください。よろしくおねがいします。

もしよろしければ、加えて、図形の単元の全般的な攻略方法やアドバイスなどがありましたら、そちらも書いてくださるととてもありがたいです。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
うーん、ちょっとすっきりしにくい模範解答かもしれませんね。

＞「△AEBは∠E=90°の直角三角形であるから　AM=BM」という部分が理解できませんでした。
逆に「3点A、E、Bは点Mを中心とする円周上にある。」ことはわかりますか？
辺ABを直径とする円を考えてみてください。

それよりも、先に三角形MBEが MB＝ MEとなる二等辺三角形であることをいっているので、
同様にして、三角形MAEも MA＝ ME二等辺三角形であることを示して、
MA＝ MBとする方が自然かと思います。

お礼

早々の解答ありがとうございます。

前者の考え方は少し感動したというか、あぁーなるほど！！ってなりました。
「△AEBにおいて、∠AEBが90°である時点で、ABを直径とし点Eを通る円O（ここで定義しました。）が存在することは確定で、円の中心から円周への距離は必ず等しいということから、直径AB上の1点Mから円周上にあるEとBへの距離が等しくなるということは、Mは円Oの中心となる。」ということですよね。ここまで思いつきませんでした。1つ考え方が広がりました。

後者の考え方は、わかりやすいと言えばわかりやすいですね。たしかに、△MBEで二等辺三角形と言えたら、機械的に、△MAEも二等辺三角形が言えるということを思いつくべきですね。

どちらの考え方も参考になり、とてもすっきりしました。ありがとうございました。
またの質問の際は、ぜひ、よろしくおねがいしますm(_ _)m

回答No.2

k14i12d

つまり、
△ABEが直角三角形なので、三角形の内角の和を考えて、90-∠ABE=∠BAE(=∠MAE)
です。
で、∠AEMを考えると、この角は、
∠E=90°より、
90-∠BEM=∠AEM
ところで、∠BEM=∠MBEはさっき証明したので、よって∠MAE=∠AEM
よって△AMEが二等辺三角形がわかり、二等辺三角形であることから、AM=BM(=EM)
がわかるので、MはABの中点であることがわかった。

そのような発想がなければ、∠MBE=∠MEBを出した時と同様にすれば、∠MEA=∠MAEが出せます。証明の際には、わざわざ同じような導出過程は省いて、「同様にして、∠MEA=∠MAEとわかるので、二等辺三角形であることに注目して、」
と書けばよいでしょう。
(というかむしろ私も上の発想に至らず、というか、至る前に同じことすれば∠MAE=∠MEAが出せると気づいて上記のように証明すると思います。)

図形の問題を得意にするには、場数でしょう。
私は数学を場数で勝負するのは好きではありませんが、この初等幾何の問題のような図形ばかりは、場数に限るように思います。
もう少し数学を学べば、必ずしも初等幾何のみを用いて証明しなければならないことは少なくなる(ベクトルなど、道具が沢山増える)ので、少しは楽になると思います。
つまり、こればかりは、経験を積みましょう。としか言えませんね。笑

お礼

回答ありがとうございます。

これだけ丁寧な説明であればすごく納得できます。
市販の問題集の図形の証明の解説はいくらか省略されてしまっている気がします。
k14i12dのように何から何まで丁寧に書いてほしいものです。

やはり先に回答された方のように「同様にして」の考え方が楽というか重要なようですね。
これからはすぐに「同様にして証明できないか」を疑いたいと思います。

追記、ありがとうございます。
やはり、慣れなのですね。自分でもさっぱりできなくて、慣れるしかないのかなと思っていたので、経験者の方から「慣れるしかない」と言われると、（慣れるまで）気長くやっていける気がします。多く問題を解いて経験を積んでいきたいと思います。

ありがとうございました。