2つの曲線に囲まれた領域の重心の求め方

質問

直線 y=x-2と放物線y=x^2で囲まれた領域Dがある。
(1) Dの面積を求めよ。
(2) Dの重心を求めよ。

という問題です。

問(1)は非常に簡単で積分すればよくて、答えは9/2ですが、
問(2)はどうやって解けばいいですか。

分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いします。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

>問題文はy = x＋2でした。
推察した通りの問題ミスでしたね。
これなら囲まれる領域Dが存在します。

訂正後の問題であれば
過去の同じ質問があり、回答済みです(私の回答がベストアンサーでした）。
http://okwave.jp/qa/q6124767.html
参考にしてください。

>実は囲まれた領域の求め方がわからないです。
>できればなぜそういう風に解くのかの考え方も
>教えていただければありがたいです。

2本の曲線（直線を含む）で囲まれた領域は
y=x+2 ...(A)
y=x^2 ...(B)
のグラフを描けば囲まれた領域Dはグラフ的に見れは明らかです。
領域Dは添付図の水色の領域になります。
　D={(x,y)|x^2≦y≦x+2}　
　y=x+2のグラフより下で,かつy=x^2のグラフより上の領域です。
これは次のようにも書けます。
　D={(x,y)|-1≦x≦2,x^2≦y≦x+2}
この表し方のほうが重積分を累次積分（逐次積分）に直した際の積分範囲としてはわかりやすいでしょう。
　D={(x,y)|y≧x^2(0≦y≦1) or 1＜y≦x+2(1＜y≦4)}
と表すこともできます。添付図の領域Dと見比べて理解するようにしてください。

問(1)
領域Dの面積Mは
　M=∫{D] dxdy=∫[-1→2]((x+2)-x^2)dx
　 =[(1/2)x^2+2x-(1/3)x^3][-1→2]=(3/2)+6-3=9/2
ですね。

問(2)
領域Dの重心をG(xg,yg)とおくと
重心の定義式から
　xg=(1/M)∫[D]xdxdy
　　=(2/9)∫[x:-1→2]{∫[y:x^2→x+2] xdy}dx
　　=(2/9)∫[-1→2] x(x+2-x^2)dx
　　=(2/9)[(1/3)x^3+x^2-(1/4)x^4][-1→2]
　　=(2/9){3+3-(15/4)}=1/2
　yg=(1/M)∫{D]ydxdy
　　=(2/9)∫[x:-1→2]{∫[y:x^2→x+2] ydy}dx
　　=(2/9)∫[x:-1→2]{[(1/2)y^2][y:x^2→x+2]}dx
　　=(1/9)∫[x:-1→2]{(x+2)^2-x^4}dx
　　=(1/9)[(1/3)(x+2)^3-(1/5)x^5][x:-1→2]
　　=8/5
となります。

お礼

なるほど二重積分でしたね。
よくわかりました。
ご丁寧に本当にありがとうございました。

回答No.6

htms42

＞問(2)はどうやって解けばいいですか。

まず重心の定義、表現を確かめることです。

お礼

仰るとおりです。
ありがとうございました。

回答No.4

entap

http://okwave.jp/qa/q6124767.html
同じ質問がありますね。物理の問題です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

Ae610

---問(1)は答えは9/2です---
・・・から、
直線の式は
y = x－2
・・・ではなくて
y = x＋2
・・・であると推察される！

お礼

y = x＋2でした。
失礼しました。

回答No.2

uen_sap

非常に難しい。

囲まれた領域Dが存在しないのではないのか？

お礼

y = x＋2でした。
失礼しました。

回答No.1

info22_

質問します。
問題、間違っているようです。

直線 y=x-2と放物線y=x^2とは交わらないので囲まれた面積や領域Dが存在しません。

直線の式か、放物線の式のどちらかが間違っているようです。
「y=x+2」か、「y=-x^2」のどちらか一方が間違っているようです。

補足で問題文の訂正をお書きください。

問(1)
間違った問題のままだと囲まれた領域Dが存在しないので「面積=0」または「答えなし」が正解になります。問題の式の間違いのようですね？

問(2)
囲まれる領域[D}がわからないと計算できない。
問題文が間違ってるので積分領域が存在しないから、計算できないよ!!

xg=∫[D] xdS/∫[D}dS
yg=∫[D] ydS/∫[D}dS
で計算すればよいでしょう。
分母の∫[D}dSは問(1)の領域Dの面積になります。

お礼

問題文はy = x＋2でした。
失礼しました。

ご回答ありがとうございます。
実は囲まれた領域の求め方がわからないです。
できればなぜそういう風に解くのかの考え方も
教えていただければありがたいです。