面積・数学(2)・B

質問

座標平面において、放物線y=2x^2-1と円x^2+y^2=2は2点(1,1)(-1,1)で交わる。
問
座標平面において、連立不等式

y≧2x^2-1
x^2+y^2≦2

の表す領域の面積を求めよ。

答
π/2＋5/3

になるみたいのですが、どうしたらπがでてくるのでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.3

noname#6248 · ベストアンサー

この手の問題はせっかく書いても削除の可能性があるので解き方だけ書きます。

面倒くさがらずグラフを書いてください。放物線と円になりますね。(大体で良いです。→※)
その中の面積がわかれば良いんです。交わる点を直線で結ぶ…
放物線と直線の面積は定積分で求まります。
放物線と円の面積は難しいですけれど、扇形から二等辺三角形を引けば出ますよね？

※大体の詳細は↓
頂点(0,-1)で(1,1)(-1,1)と言う放物線と、(0,0)が中心で
(0,√2)(0,-√2)(√2,0)(√2,0)(1,1)(1,-1)(-1,1)(-1,-1)の８点を通る円を書けばいいんです。

考え方
１．放物線を定積分すると、放物線とｘ軸で挟まれた面積になりますよね？
　→つまり適度にｙ方向にずらせと言う事
２．円の中心は(0,0)ですから、放物線の交わる２点と(0,0)を結ぶと扇形になりますね。
　→直角ですから四分の一です。計算できますよね？
３．２の扇形と２の交わる点同士を直線で結ぶと三角形になりますよね？
　→直角三角形です底辺１高さ１...計算できますよね？

つまり、放物線をｙ軸方向へずらし、(-1,0)と(1,0)で交わるようにして積分をして
２の扇形の面積を求め、３の三角形を引けば面積になります。
ポイントは、
放物線を直接定積分するとｘ軸の上がプラスｙ軸の下がマイナスという合算になるので注意
下に凸なので出てくる値がマイナスになる点
と言うところです。

以降は管理者に対する半分文句です。
(これより下は、回答と無関係ですので修正を願います。)
この質問が『レポートや宿題に当たるため削除』というのは解ります。
ですが、解き方ぐらいは削除しなくてもいいのではないですかね？

お礼

ご解答有難うございます。
今までかかってやっと答にたどり着きました。
試験で扇形に気づくかと言われればできないでしょうけど・・・

補足

＞管理者さんへ
削除されれば困るので先に書いておきます。
先ずこの問題はレポートでも宿題でもありません。
予備校で講義がありそのときに解説されなく、講師に聞きに行くとしても火曜日か木曜日になり、
もっと早く考え方が知りたかったので質問したまでです。

ただいま考え中ですのでお礼又は補足などは後日必ずさせていただきます。

回答No.4

sanori

何回も登場してゴメンネ！

扇形とか二等辺三角形とかで考えないほうが、積分が得意になりますよ！
図形の問題、特にパズル的な角度を求めるとか面積を求めるだとかは、その後理工系の大学や会社に進んだとしても応用が利かないし、あんまり役に立ちません。ただし、数学者を目指す人を除いては、ですが。

（＃３さん、水を差すつもりじゃないんです。許して！　＃３さんの訴えには同感。）

お礼

＞扇形とか二等辺三角形とかで考えないほうが、積分が得意になりますよ！
そうなのですか。実は理工系の大学を目指しています。
なんとか受かりたいと思います。

回答No.2

sanori

雑談です。

・・・？　malxさんって、さっきのお方？

数学頑張ってね！

お礼

＞数学頑張ってね！
はい。ありがとうございます。

回答No.1

sanori

ちゃんと解いてませんが、解き方は何となくわかります。
要するに、円と二次関数の放物線とが重なり合った部分の面積ですね。
これは定積分の問題です。
２つの曲線が交わる２点のｘ座標のうち、小さいほうを積分の始点、大きいほうを終点にします。
積分される前の式は、
f(x) ＝ 円の式 － 放物線
ですね。
ここで、
円の式＝y=√(2-x^2)
にすればいいわけです。
放物線のほうは最初のｙ＝...の式そのままでいいですね。

お礼

ご解答有難うございました。
扇形ととらえることがミソだったんですね。