（積分で？)長さを求める問題

質問

空間座標で t を媒介変数として x=ａcost , y=ａsint , z=(ｈt)/(2Π) で与えられる曲線が Πａh=c(定数) の関係をもつとき
(1) 0 <=(小なりイコール) t <= 2Π　のときのこの長さの最小値をcで表せ.
(2) このときのａとｈの関係を求めよ.

という問題で、答えが　(1)2√c　(2)2Πａ=ｈ　と書いてあるんですけど、解き方が分かりません（最小値の意味も…).　(2)は 相加平均 >= 相乗平均 を使うらしいです.
高校生で理解できる範囲でお願いします(数3(?)含)

回答No.3

KaitoTVGAMEKOZOU

おおっとちょっと訂正。
Ｌ＝∫（from a to b ）√｛(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2＋(dz/dt)^2｝　に最後にｄｔをつけて、

Ｌ＝∫（from a to b ）√｛(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2＋(dz/dt)^2｝ｄｔ　としてください。証明は平面のときと同じように出来ます。

では証明しよう。速度ベクトルを使う方法が多勢だがここでは簡単に長さから直接やる。
曲線Ｃ：ｘ＝f(t),ｙ＝g(t)，ｚ＝g(t) の区間a≦ｔ≦bの長さをＬとする。
Ｃ上の点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が微少量（Δｘ，Δｙ，Δｚ）だけ移動して点Ｐ’となったとする。
∴ΔＬ＝√｛(Δｘ)^2＋(Δｙ)^2＋(Δｚ)^2｝　　　　（∵三平方の定理）
⇔ΔＬ＝√｛(Δｘ／Δｔ)^2＋(Δｙ／Δｔ)^2＋(Δｚ／Δｔ)^2｝　Δｔ　　
→ｄＬ＝√｛(ｄｘ／ｄｔ)^2＋(ｄｙ／ｄｔ)^2＋(ｄｚ／ｄｔ)^2｝ｄｔ　（Δｔ→０）

よって、
∫(from a to b) ｄＬ　
＝∫(from a to b)√｛(ｄｘ／ｄｔ)^2＋(ｄｙ／ｄｔ)^2＋(ｄｚ／ｄｔ)^2｝ｄｔ　

以上じゃ！

補足

おぉ、証明まで….有難うございます
∫(0～2Π)√{a^2 (sint)^2 + a^2 (cost)^2 + h^2/4Π^2}dt
=∫(0～2Π)√[a^2{(sint)^2+(cost)^2}+h^2/4Π^2]dt
=∫(0～2Π)√(a^2*1 + h^2/4Π^2)dt
=√(a^2 + h^2/4Π^2)∫(0～2Π)１dt
=2Π√(a^2 + h^2/4Π^2)
=2√(Π^2 a^2 + h^2/4)
となったので、 Πah=c をいろいろ変形して代入してみたんですけど、2√cにならないんです.
どこに問題があるのでしょうか？

回答No.2

may-may-jp

これがどんなグラフになるかわかりますか？
x^2＋y^2＝a^2
別に思いつかなくてもいいですけど、z軸を中心に、半径aでらせん状にぐるぐるとなるグラフです（ｔの条件がない場合）。イメージ湧きました？

では、KaitoTVGAMEKOZOUさんのアドバイスにしたがって、頑張ってくださいね。

お礼

はい.ありがとうございます

回答No.1

KaitoTVGAMEKOZOU

（１）空間での曲線の長さの公式は平面のときの拡張で、
Ｌ＝∫（from a to b ）√｛(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2＋(dz/dt)^2｝です。

この問題ではが) ０≦ｔ≦2Πが積分範囲をあらわしている。あとはご自分で考えてね。

（２）（１）で出したＬ＝f（c）に、ｃ＝Πａhを代入して検討する。

あとはご自分で考えてお礼に答えを書くこと。相加相乗平均の不等式を使うかどうかはそれから。

お礼

ありがとうございます.