置換積分（高校レベルだと思います）

質問

∫(1/((1-x)√(x^2+x+1)))dxを√(x^2+x+1)=t-xと置換して求める。

t=x+(x^2+x+1)^(1/2)から
dx/√(x^2+x+1)=2dt/(2t+1)を求め、元の式に入れてみました。

∫(1/((1-x)√(x^2+x+1)))dx=∫(2/((1-x)(2t+1))dtとなります。

ここから、どう工夫すれば良いものなのでしょうか？
アドバイスをいただければありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

sakura_214 · ベストアンサー

このまま引き続きxをtで表して計算を続けてみてください．複雑そうに見えますが，この置換パターンは，xは２次式にはならず１次式で変形でき，また被積分関数の分母の一部は計算途中で消えてくれるので，安心？して計算できるはずです．
t=x+√(1+x+x^2) → (t-x)^2=1+x+x^2 → x=-(1-t^2)/(1+2t) → 1-x=(2+2t+t^2)/(1+2t)
と変形できるので，
∫(2/((1-x)(1+2t))dt=∫(2/(2+2t-t^2))dt
となり，有理分数式に変形できます．以下，
右辺=∫(2/(3-(1-t)^2))dt
=(1/√3)*∫(1/(√3+1-t)+1/(√3-1+t))dt
=(1/√3)*(-log(√3+1-t)+log(√3-1+t)) + const.
=(1/√3)*(-log(√3+1-x-√(1+x+x^2))+log(√3-1+x+√(1+x+x^2))) + const.
となります．

お礼

先にレスをいただいた方の指摘を参考にして
ちょうど答えにたどり着いたところでした。
無事正解できたことを確認できました。
ありがとうございました。(^^)

回答No.1

tarame

＞√(x^2+x+1)=t-xと置換して
両辺を２乗して式変形すると
ｘ＝(t^2－1)/(2t＋1)

＞∫(2/((1-x)(2t+1))dt　に代入して
＝－∫(2/(t^2-2t-2))dt

お礼

早いレスありがとうございました。
ご指摘を受けたように計算を続けて
無事に答えにたどり着きました。(^^)