微分方程式について

質問

u=e^(ax)cosbx　（a,b:定数、b>0）となる。
u‘‘‘＝uとなるようにaとbを求めよ。　※‘‘‘は三階微分
について答えがa=-1/2 b=√（3）/2となるようですが、どのようにとけばいいののでしょうか。解き方、式をお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>解き方、式をお願いします。
解き方は、真面目に計算ミスすることなく、uを三階微分してu'''を求めることです。計算すると
u=e^(ax)cosbx ...(1)
u'''=b(b^2-3a^2)e^(ax)*sin(bx)+a(a^2-3b^2)e^(ax)*cos(bx) ...(2)
u'''=u ...(3)より
　b(b^2-3a^2)＝0 ...(4)
　a(a^2-3b^2)=1 ...(5)

後は、(4),(5)を実数a,bの制約条件
　b>0　...(6)
のもとで連立方程式を解けば良いでしょう。

(6)からb>0なのでb≠0。　(4)より
　b^2-3a^2＝0 　∴b^2=3a^2 ...(7)
(7)を(5)に代入
　-8a^3=1 → a^3=(-1/2)^3
aは実数なので　∴a=-1/2　...(8)
(7)に代入
　b^2=3/4　b>0より　∴b=(√3)/2 ...(9)

(8),(9)のa,bが答えです。

＃この位の問題は自分で解かないとダメですね！実力がつきませんよ。
自身で計算するつもりで、上記の回答の計算を再度やり直してみて下さい。

回答No.2

Tacosan

u‘‘‘＝u を解く人もいるかも.

回答No.1

alice_44

地道に微分を繰り返せば、u''' が
Fexp(ax)cos(bx)+Gexp(ax)sin(bx)
ただし F, G は定数 …と書けることが判り、
しかも F, G は具体的な a, b の式で
表されているはずです。

で、これが u と一致するのは
F = 1, G = 0 のときだけであることから、
これを a, b の連立方程式として解けば完了。
やってみて、その途中経過を
補足に書いてみてください。

…とか言って、質問者から生返事以外のものが
返ってくることは、この質問サイトでは稀ですが。