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微分方程式について
u=e^(ax)cosbx (a,b:定数、b>0)となる。 u‘‘‘=uとなるようにaとbを求めよ。 ※‘‘‘は三階微分 について答えがa=-1/2 b=√(3)/2となるようですが、どのようにとけばいいののでしょうか。解き方、式をお願いします。
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>解き方、式をお願いします。 解き方は、真面目に計算ミスすることなく、uを三階微分してu'''を求めることです。計算すると u=e^(ax)cosbx ...(1) u'''=b(b^2-3a^2)e^(ax)*sin(bx)+a(a^2-3b^2)e^(ax)*cos(bx) ...(2) u'''=u ...(3)より b(b^2-3a^2)=0 ...(4) a(a^2-3b^2)=1 ...(5) 後は、(4),(5)を実数a,bの制約条件 b>0 ...(6) のもとで連立方程式を解けば良いでしょう。 (6)からb>0なのでb≠0。 (4)より b^2-3a^2=0 ∴b^2=3a^2 ...(7) (7)を(5)に代入 -8a^3=1 → a^3=(-1/2)^3 aは実数なので ∴a=-1/2 ...(8) (7)に代入 b^2=3/4 b>0より ∴b=(√3)/2 ...(9) (8),(9)のa,bが答えです。 #この位の問題は自分で解かないとダメですね!実力がつきませんよ。 自身で計算するつもりで、上記の回答の計算を再度やり直してみて下さい。
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- Tacosan
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u‘‘‘=u を解く人もいるかも.
- alice_44
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地道に微分を繰り返せば、u''' が Fexp(ax)cos(bx)+Gexp(ax)sin(bx) ただし F, G は定数 …と書けることが判り、 しかも F, G は具体的な a, b の式で 表されているはずです。 で、これが u と一致するのは F = 1, G = 0 のときだけであることから、 これを a, b の連立方程式として解けば完了。 やってみて、その途中経過を 補足に書いてみてください。 …とか言って、質問者から生返事以外のものが 返ってくることは、この質問サイトでは稀ですが。