円の接線の方程式について

質問

接戦の方程式の問題を解いているのですが、何度やっても計算が合いません。

別の方法で解いたら答えは出たので、やはりどこか落とし穴があるのでしょうか?

または公式を履き違えているのでしょうか?

どなたか、お手数ですがご教授ください。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>やはりどこか落とし穴があるのでしょうか?
その通り。

2x+3y+8=0 ...(☆)
この直線に一致する直線としては
(p-4)x+(q+1)y+(-4p+q+17-r^2)=0 ...(◆)
と
-1を掛けた
(4-p)x+(-q-1)y+(4p-q-17+r^2)=0　...(▲)
を考える必要があります。

(☆)と(◆)の係数が一致することから導出される方程式
　p-4=2,q+1=3,(-4p+q+17-r^2)=8　...(●)
接点(p,q)が(☆)の直線上にある条件
　2p+3q+8=0　...(※)
を忘れていませんか？
これを解いて得られる(p,q)=(6,2)は(※)を満たさないので不適です。

(☆)と(▲)の係数が一致することから導出される方程式
　4-p=2,-q-1=3,(4p-q-17+r^2)=8　...(◎)
これを解いて得られる(p,q)=(2,-4)は(※)を満たします。
このとき　r=√13　となり
「p=2,q=-4,r=√13」を(▲)の式に代入すれば(☆)の式に一致します。
なのでこのp,q,rは(◎)および(※)を両方とも満たす解です。
このp,q,rに対して
　(p-4)(x-4)+(q+1)(y+1)=r^2
が求める接線(☆)と一致します。

[ポイント]
接点(p,q)が(☆)の直線上にある条件
　2p+3q+8=0　...(※)
この条件を見落としたため、傾きが等しいが接点が(☆)上にない円の接線の方が導出され間違った解答になったわけですね。

お礼

お礼が大変遅くなり、申し訳ありません。

細かく分かりやすいご回答をありがとうございます。

見落としていた部分が理解でき、スッキリしました。

本当に、ありがとうございました。

回答No.2

noname#182106

(p-4)x+(q+1)y+(-4p+q+17-r^2)=0 と 2x+3y+8=0 が一致する条件は

(p-4) : (q+1) : (-4p+q+17-r^2)=2 : 3 : 8 でしょう。

(p-4) : (q+1)=2 : 3 と 2p+3q+8=0 からp,q を出せば r^2 もでます。

お礼

ありがとうございます！

考え方を変えるのも大切ですね！

勉強になりました。