円: x^2+y^2-4x-2y+4=0と点

質問

円: x^2+y^2-4x-2y+4=0と点(-1.1)を中心とする円dが外接している。円c,dの共通接線の方程式を求めてください。お願いします。

回答No.1

masa072 · ベストアンサー

円dの方程式はいいですよね。図示すれば一発です。
（もしこの段階でわからなければ基本事項が抜けているので、すぐに先生に付いてマンツーマンで補習を受けてください）
円dの方程式は(x+1)^2+(y-1)^2=4です。
これと円cの共通接線ということは、円cの接線で円dに接するものを探せばよいです。
円c上の点(a,b)における接線の方程式は、(a-2)(x-1)+(b-1)(y-1)=1。
また、(a,b)は円C上の点より、(a-2)^2+(b-1)^2=1。
これが円dに接するためには、円dの中心から上記接線までの距離が円の半径2と等しくなればよいので、点と直線の距離の公式に代入すると、
|-3a+5|=2となり、a=7/3,1。これを接線の方程式に代入すればOKです。

難易度は、原点中心でない円の接線の方程式を知っていれば易です。知らなくても方針は単純ですし、判別式で処理することが可能です。（計算量はかなり多いですが）もし大学受験で数学を使うなら、判別式で処理できるだけの計算力はつけておいたほうがいいでしょう。

この問題のカギは、原点中心でない円の接線の方程式です。
一般に(x-p)^2+(y-q)^2=r^2上の点(a,b)における接線の方程式は、(a-p)(x-p)+(b-q)(y-q)=r^2となります。原点中心のケースから平行移動を考えるか、数IIIの陰関数微分を考えると証明できます。