集合・・・？ですたぶん

質問

＜問題文＞
・35ヶ国からなる国際会議で、Ａ法案に賛成の国が26ヶ国、Ｂ法案に賛成の国が19ヶ国あった。Ａ、Ｂ両案に賛成の国の数をｘとしたとき、ｘの最大値と最小値の差は？

＜解説＞
・ｘが最大になるのは「Ｂ法案に賛成した国が、すべてＡ法案に賛成した場合」で、このとき最大値は19。
ｘが最小になるのは「Ａ（Ｂ）法案に賛成しなかった国が、すべてＢ（Ａ）法案に賛成した場合」で、このとき最小値は26+19-35＝10となる。
よって求める解は、19-10＝10。

とあるのですが、
（疑問1.）＞ｘが最大になるのは「Ｂ法案に賛成した国が、すべてＡ法案に賛成した場合」で、このとき最大値は19。
より、Ｂ法案に賛成した国が、すべてＡ法案に賛成した場合は26-19で新しくＡ法案に賛成した国は7ヶ国しかない？それと、19ってどうやって出るの？？

（疑問2.）＞ｘが最小になるのは「Ａ（Ｂ）法案に賛成しなかった国が、すべてＢ（Ａ）法案に賛成した場合」
さっぱり意味が・・・わかりません！！（泣）わかり易く言い換えていただけないでしょうか？

これらの疑問が胸にひっかかります。どうか、助言お願いします。。。

回答No.3

unos1201 · ベストアンサー

疑問１：全部で３５の国があって、その内、Aに賛成は２６で賛成でないのが９です。問題は、この賛成でない９がBに賛成するかしないかです。最悪、９のうちBに賛成が０というのと、Bにすべて賛成の９が考えられ、実際にはその両極端の間に答えがあります。

Aに賛成でない９のうち、Bに賛成が０なら、Aに賛成の２６のうち、１９がBに賛成です。つまり、２６－１９の７はAに賛成でBに反対の数です。言い換えると、この場合はすべてBに賛成の国はAに賛成という状態で、集合ではAにBが含まれるタイプです。

Aに賛成でない９のうち、Bに賛成が９であれば、Bのうち、１９－９の１０はAに賛成となります。Aの２６のうち、１０はBに賛成で、１５はBに賛成でないとなるのです。この１５はBに賛成でないすべてとなり、この場合にはAにもBにも賛成でない国は０となります。この条件のとき、Xが最小です。

疑問２　Aに賛成かBに賛成のなかには、AにもBにも賛成という国があります。Bの方が少ないので、Bに賛成の国が全部Aに賛成なら、Aに反対、Bにも反対というのは、Aに反対の国だけです。つまり、Aの補集合である、３５－２６の９になります。

Aに反対でBにも反対の国がひとつも無ければ、このときがAに賛成でBに賛成の数が最小になるのです。Aに賛成が２６、Bに賛成が１９だけれども、両方合わせて３５しか国がないので、２６＋１９－３５の１０がAにもBにも賛成なのです。条件を考えるのに、図を書いて数字を入れると理解しやすいと思います。

Xの最大は前者で１９、最小は後者で１０、だから答えが９になるのです。

回答No.5

baihu

等幅フォントで見てもらえればいいんだけど……。

ｘが最大になるとき：ｘ＝１９ヶ国

12345678901234567890123456789012345
+----+----+----+----+----+----+----
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA---------
BBBBBBBBBBBBBBBBBBB----------------
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@----------------

ｘが最小になるとき：ｘ＝１０ヶ国

12345678901234567890123456789012345
+----+----+----+----+----+----+----
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA---------
----------------BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
----------------@@@@@@@@@@---------

上の図のように、３５ヶ国分のますを２段書いて、重なるところが最大／最小になるように埋めてみれば分かるんじゃないかな。

お礼

ここでまとめてお礼を言わせていただきます。

いろいろなみなさんの回答、とてもありがたく思っています。
自分でも考えてみて頭の中で解決することができました。
ありがとうございました！

回答No.4

hinebot

#1です。

ちょっと補足。

Ａ法案のみ賛成した国をa
Ｂ法案のみ賛成した国をb
ＡＢ両方賛成した国をp
ＡＢ両方反対した国をq
とおくと、条件から分かっているのは
a+p = 26　----<1>
b+p = 19　----<2>
a+b+p+q = 35 -<3>
の３つですね。未知数４つで式が３つなので一意には求まりません。
<3>を変形して
a+b+p = 35-q　--<4>
<1>+<2>より
a+b+2p = 26+19 = 45 --<5>
<5>-<4>より
p = q+10
ということが分かります。
よって、q=0のとき p は最小値10 をとるわけですね。
これが、疑問２へのもう一つの回答です。

では、最大値は？
qが最大のとき、pも最大です。
ではqが最大になるのはどんなときでしょう？
<4>式を見ればわかると思いますが、a+b+p すなわち、いずれかに賛成した国の合計が最小になるとき、qは最大になりますね。
いずれかに賛成した国の合計が最小になるときとは？
これは、「Ｂに賛成した国の集合」が「Ａに賛成した国の集合」の部分集合になるとき、すなわち「Ｂ法案に賛成した国が、すべてＡ法案に賛成した場合」となる訳です。

回答No.2

khbky

これは単純に考えればいいのではないでしょうか？

まず、Ｂ法案に賛成なのが19カ国ある。これは変えられない。このとき、Ｂ法案に賛成の全部の国がＡ法案に賛成のとき、考えられるのは19カ国ではないでしょうか？例えば、20カ国存在するとしたとき、Ｂ法案に賛成できない国が１つでてしまいます。

今度は最小値ですが、これは賛成しない国の数を考えればすぐに出ます。Ａ法案に賛成しない国は「35-26」で９カ国ある。Ｂ法案に賛成しない国は「35-19」で16カ国ある。このとき、Ａ，Ｂどちらかにしか賛成しない場合を考えたとき、
Ａ法案に賛成しない９カ国はＢ法案に賛成する９カ国
であり、
Ｂ法案に賛成しない16カ国はＡ法案に賛成する16カ国
であると考えたとき、
Ａ，Ｂ両方の法案に賛成なのは35カ国から９カ国と16カ国を除いたときなので、答えは10カ国になります。

補足として、「35-16＞9」「35-9＞16」ということを途中に入れる必要があるかもしれないので、あしからず。

回答No.1

hinebot

こういう問題の場合、ペン図（四角の中に○を書くヤツ…って分かるかな？）を書いてみるといいんですけどね。

（疑問１）について
>Ｂ法案に賛成した国が、すべてＡ法案に賛成した場合は26-19で新しくＡ法案に賛成した国は7ヶ国しかない？

19+7 ≠35 じゃないか？　ということでしょうか。
だとしたら、こう考えましょう。
35-(19+7)= 9 ヶ国は、Ａ法案にもＢ法案にも反対したということです。
つまり、
(1)Ａ法案のみ賛成　7
(2)Ｂ法案のみ賛成　0
(3)ＡＢ両方賛成　　19
(4)ＡＢ両方反対　　9
全部は 7+0+19+9 = 35
Ａ法案に賛成したのは(1)+(3)で 7+19 = 26
Ｂ法案に賛成したのは(2)+(3)で 0+19 = 19
です。

>それと、19ってどうやって出るの？？
Ｂ法案に賛成した国が、すべてＡ法案に賛成した訳ですから、「Ｂ法案に賛成の国が19ヶ国」これそのものです。

（疑問２）について
これは、参加国はすべてＡ・Ｂどちらかの法案に賛成した、すなわち、Ａ・Ｂ両方に反対した国はなかったということです。
つまり、
(1)Ａ法案のみ賛成　16
(2)Ｂ法案のみ賛成　9
(3)ＡＢ両方賛成　　10
(4)ＡＢ両方反対　　0
全部は 16+9+10+0 = 35
Ａ法案に賛成したのは(1)+(3)で 16+10 = 26
Ｂ法案に賛成したのは(2)+(3)で 9+10 = 19
です。

これでお分かりになるでしょうか？