重積分・積分について
重積分・積分の問題です。
1 ∫[0,2π]cosmxcosnxdx (m,n∈Z)
まず和積公式を使って
cosmxcosnx=1/2{cos(m+n)x+cos(m-n)x}とし、
0→2πで積分して
1/2[1/m+n*sin(m+n)x+1/m-n*sin(m-n)x][0→2π]
ここまでは解けるのですがここから解くことが出来ませんでした。
積分区間が０のときはsin０=0ですので考えないとしたんですが、
2πの時にするであろう場合分けが思いつきません。
ここから回答をお願い出来ないでしょうか。
また自分の回答に自信があまり無いので
以下の問題の答えを教えていただけないでしょうか。
2 d/dx(arcsinx)^2
=2arcsinx/(√1-x^2)
3 ∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1})
被積分関数は1/{√1-(x^2+y^2+z^2)}より x^2+y^2+z^2=1上の点が特異点の広義積分である。
ここでDa:x^2+y^2+z^2≦a^2とおく。ただしa>0とする。
極座標(r,θ,ψ)を定める。
x=rsinθcosψ
y=rsinθsinψ
z=rcosθ とおくと
Daは Ea:0≦r≦a, 0≦θ≦π,0≦ψ≦2πにうつる。
またヤコビアンはr^2sinθである。
計算は省略します。
積分すると4πa^5/5となり、
lim [a→1-0]として 答えは4π/5 でしょうか。
文章読みにくくてごめんなさい。
回答お願いします
お礼
迅速なご回答ありがとうございます！