遠近法であらわされた円は楕円か卵形か

質問

タイトルのとおりです。
遠近法であらわされた円は楕円になりますか？
卵形ですか？

とある人がで、遠近法で円を書くと
遠くのほうが小さくて手前のほうが大きくなるといっていました（つまり卵形だと思う）。
遠近法で正方形をかけば確かに遠いほうが小さくて手前が大きいですが、
台形に内接している円は卵形じゃなくて楕円だと思うので、
遠近法で書かれた正方形は台形になるからその中の円も楕円になると思うのですが、
よくわかりません。

どうか教えてください。
もし、この本に詳しく載っているというのがあれば教えてください。
（なるべく図書館にあるような本がいいです。）
もしくはこのサイトに詳しい証明があるというのがあれば教えてください。
数学はほとんどわからないのでなるべくやさしいものを希望します。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

競輪場を見下ろしたら楕円か卵形か、という話ですね。答は厳密に楕円。（この話は前にもやった気がするが…）
　まず、遠近法（投影変換）
　　X = x/z, Y=y/z
は3次元空間中に勝手に置かれた直線を平面上の直線に写します。また、3次元空間中に勝手に置かれた円をこれで写すと、像は楕円です。「無限遠から見ているならともかく、遠近法なら遠くが小さくなるはずなのに？」というのが疑問なのでしょう。
　円周に等間隔に目盛りを付けておけば、目盛りの像はもちろん等間隔にはならない。さて、円の中心に対して点対象の位置にある目盛り同士をそれぞれ結ぶと、それらの直線は円の中心に集まりますよね。これらの直線の像はやはり直線であり、確かに1点に集まりはする（それが円の中心の像）。しかし目盛りの像は等間隔じゃないわけで、集まった点の位置は楕円の中心に比べて（遠くの方へ）ズレているわけです。つまり、遠くほど小さくなるのだから、（元の）円の中心は（見かけの）楕円の中心には写らない。
　この様子は、厳密じゃなくていいですから、ザッと絵を描いてみれば分かるでしょう。

　もうちょっとだけ詳しくやってみますと、
(1) 視点を頂点とする円錐を考えます。視点を原点とし、まん前をz軸とする直交座標系で円錐の方程式は
　　x^2+y^2= k z^2
すると、この円錐の表面上にどんな絵を描こうとも、視点からは円に見える訳です。

(2) さて、x軸と平行な適当な平面 z=py+qとこの円錐との交わりを考えると、それは楕円になりますんで、それを円錐面上に描いておきます。すなわち、
　　x^2+y^2= k z^2
　　z=py+q
という連立方程式で表される空間中の曲線ですね。この楕円の中心は円錐の軸(z軸)上には来ません。しかし、もちろん、視点(原点）から見れば、これは円に見え、その円の中心はz軸上にあるわけです。つまり、楕円の中心は円の中心から(y軸に沿って)ずれて見えます。

(3) 次に、この円錐をy軸方向に一定の比率で縮めます。
　　x^2+(a y)^2 = k z^2
円錐面上に描いてある楕円もy軸方向に潰されて、
　　x^2+(a y)^2 = k z^2
　　z=p(ay)+q
となる。これはもちろん、楕円をひとつの軸の方向に伸縮させたものなのですから、元とは別の楕円になる。ですが、潰し具合をうまく調節すると、この「別の楕円」がちょうど円になるようにできます。

　以上の話を逆順に追って行けば、ご質問の状況を表していることがお分かりになるでしょう。

お礼

どうもありがとうございました。
求めていた答えをいただいた感じです。
前にもありましたか。
調べきらなくてすみませんでした。

回答No.3

hirama_24

厳密には卵型になります、手前は大きく、奥は小さくなりますから。

お礼

質問に書いたように台形に内接する円は楕円だと思います。
台形は一方が長くて他方が短いということがあります。
その場合でも楕円になります。
一方が長いのに台形は卵形になりません。
なのになぜ遠近法で台形に描かれた正方形の
内接する円は卵形になるのですか？
数学的証明をお願いします。
また台形でも卵形になるばあいがあれば教えてください。
もしくは物理学で光の屈折によりなるとかならばその説明をお願いします。

回答No.2

tsubuyuki

実験してみてはいかがでしょう。

紙（折り紙でもコピー用紙でもなんでも）に正円を描きます。
（コンパスがあれば一番良いですが、なければ皿を置いて輪郭をなぞれば正円に近い円を描けます）

その紙を両手で持ち、紙をぴんと張った状態で、腕をまっすぐ伸ばしましょう。
で、どちらかの手を近づけてくると・・・円はどのように見えますか？

それが、答えです。

お礼

回答ありがとうございます。
私の目は錯覚を見抜けず、同じ長さの線を長く見えたり短く見えたりするので
自分の目で見たものはあてになりません。
数学的証明をお願いします。

回答No.1

Tacosan

こういうこと?

参考URL：

http://odabouta.blog115.fc2.com/blog-entry-13.html#more

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね。説明に
「楕円、放物線、双曲線の３種類の曲線になることが知られています。」
とあるのでたぶん卵形は無いのだと思いますが、
できればなぜ遠くが小さく手前が大きくなるのが遠近法なのに
なぜ卵形にならないのかの説明が欲しいです。