円錐を斜めに切断しても卵型にはならないの?

質問

●小学生の子供の質問に答えられません。定性的な説明法のアドバイスをお願いします。

●円錐を斜めに切断するとその切り口は楕円になると、数学の理論は教えています。

●しかし、斜め切断の一方は円錐の小さな円の方を切り、他方は大きな円の方を切ることになります。

●とすれば、切り口は、小さな円の方がとがっており、大きな円の方が緩やかに曲がった卵型が現れるはずだ。というのが子供の理論（?）です。

●模型とか懐中電灯の光などを利用して切り口を見せても、納得できない様子です。私自身も、曲率が異なる円を通る（斜めですが）切断が何故同一曲率になるのか、定性的に得心が行きません。

●うまい理論的な定性説明があれば、ご教示ください。

回答No.5

noname#20999 · ベストアンサー

こんな考え方で本当に良いのかは知りませんが…

例えば円柱を切断するとき、切断面と母線の角度が小さいほど切り口はより細長い図形になる。
円錐を斜めに切断すると、小さな円を通る側は切断面と母線がより垂直に近く、大きな円を通る側は切断面と母線がより平行に近い（＝細長い）ので、曲率が異なる円を通る切断でも同一曲率になる（ような気がする）。

お礼

早速のアドバイス有り難うございます。切断面と母線の角度に着目するとうまく説明が出来そうです。すごいアイデアだと思います。

補足

●次のように考えて見ました。この先は考え中です。

●円錐を真横から見る。切断面は左上から右下方向に走る。円錐の左側母線と切断面左上の接点をA、反対側をBとする。

●切断面のA点曲率半径は、Aでの円錐半径よりも大きい曲率半径の曲線になる筈。理由：　切断面は、AからBに走るにつれ、円錐の太い方に向かう。

●同じように考えて、切断面のB点曲率半径は、Bでの円錐半径よりも小さい曲率半径の曲線になる筈。理由：　切断面中ではBは円錐の半径が最も大きい所なので、切断面がBに到着する直前の部分では円錐がそれよりも細い方にあり、Bでの円錐の半径よりも必ず小さい曲率半径になる筈。

●以下考え中。

回答No.10

torahuzuku

今晩は。No9です。昨晩は作図もしないでいいかげんな回答をしてしまいましたので、まず訂正させてください。
＜輪ゴムの作る楕円の長軸の中心点で円錐を底面と平行に切断したとすると、そのときにできる小円の直径と楕円の短軸の直径が同じになります。＞の記載は間違いでした。

作図して気付いた点があります。
切断面が楕円になることはfrageさんもご承知ですが、楕円になることに曲率うんぬんのお話は関係ないのではないかと思ったのです。

楕円の短軸と同方向の楕円の周囲間の各幅は曲率とは無関係に決まるのではないかということです。
楕円の周囲の幅は、次のように決まるのではないでしょうか。

円錐を側面からみた二等辺三角形ABC(Aを頂点BCを底辺とする)を描きAから辺BCに垂線を下ろしBCとの交点をRとします。円錐の切断面を右上から左下に取ったときの母線との交点を二等辺三角形と切断線との交点とし、右上をD、左下の交点をEとします。DEの長さが楕円の長軸の長さになります。DEの中点をOとします。「Oを通りBCと平行線を引きAB,ACとの交点をそれぞれF,Gとし垂線ARとの交点をPとします。Pを中心に半径FPで円を描き、点OでARと平行な線を引いたとき今描いた円との交点間の長さ(円の弦です)が、楕円の短軸の長さになると思います。」

点Oから切断線DE上にそれぞれ左右に等距離に点を幾つか取り、各点で「～」までと同様な操作を行えば各点の楕円の幅が、各点での円の弦の長さとして求める事ができるのではないでしょうか。

お礼

●重ねてのアドバイス有り難うございます。

●沢山のアドバイスを頂き有り難うございました。この場でアドバイス頂いた皆様全員ににお礼申し上げます。

●ひとまずここで締めきらせていただきます。

補足

●切断面上では、O点から円錐表面までのD点方面距離とE方面距離とが、（円の直径のような意味合いで）どの方向でも左右対称的に等しい、と説明できれば、卵型ではないことになる、とのアイデアですね。

●皆様の色々なアイデアを元に、子供向けの説明をもう少し考え続けて行きたいと思います。

回答No.9

torahuzuku

今晩は。
No8さんのご説明を視覚的に見る方法を。
円錐の底面に輪ゴムを架けて下さい。そこで底面の直径の一端に輪ゴムの一点をピンか何かで固定します。
直径の他端上の輪ゴムを円錐の母線に沿って頂点まで垂直に移動する際、輪ゴムの作る面に垂直の方向から輪ゴムの作る面を見ると常に楕円になっていることが確認出来るかと思います。

楕円は焦点F,F'からの距離が一定の軌跡として描けますが、底面の円は焦点F,F'が中心に一致した状態、母線に沿って輪ゴムを移動すると焦点は徐々に左右に広がって行き、輪ゴムが円錐の頂点に達したとき焦点はピンで留めた一点と頂点に一致した状態、すなわち楕円が直線になってしまうと考えても良いかと。

輪ゴムの作る楕円の長軸の中心点で円錐を底面と平行に切断したとすると、そのときにできる小円の直径と楕円の短軸の直径が同じになります。

なお、円錐の錐面の任意の一端に輪ゴムを固定し反対側の輪ゴムの一端を同様に移動しても長軸の異なる様々な楕円を見る事ができますね。

お礼

深夜のアドバイス有り難うございます。色々な方向での切り口が見られるという点で、輪ゴムはすばらしいアイデアだと思います。

回答No.8

doahodesu

No3、7ですが、三たび書き込みます。
ここで謝らなければなりません。
過去の記憶で簡単にNo3を書いてしまいましたが、あれは誤りだと思います。

No3の誤りの説明であると共に、直感的な説明にもなると思いますので、ここでまた次の図を描いてください。

円錐の見取り図を描いて頂き、「底面の円周上の１点」を決め、その点を通る切り口をいくつか同時に（１つの円錐の中に）描いて欲しいのです。
そのときに両極端の図が重要です。
最大の切り口は底面に一致します（つまり円です）。
最小の切り口は円錐の頂点を通る母線に一致します（つまり線分です）。

つまりいろいろな切り口は円から線分へと変化していきます。
線分に収束していくわけですから、切り口の図形の上部と下部が曲率の異なる「玉子型」になるというのは無理があり、円と線分の中間形は楕円である、という説明です。

このことからNo3の３つ目の円は間違っていると思います。
どうもすみませんでした。
No3の図に正しい断面の変化を書き込むと、次のようになると思います。
最も小さい断面（の極限）は、円の中心と大きい円の最下部を結ぶ線分（つまり大きい円の半径）になり、最も大きい断面は大きい円に一致します。
その途中の切り口の図は、その半径を徐々に太く長くした「楕円」であるはずなんです。
私の回答の誤りは、「共通内接円」としたことであり、正しくは、２つの同心円のどちらにも内接の位置にある「楕円」であるべきでした。
訂正して謝罪いたします。

お礼

度重なるアドバイス、また、ご丁寧な復習、有り難うございました。

補足

●「円から線分に収束するから中間は楕円であるはず」を、中間は卵型ではないことの説明に、どう結べば良いのでしょうか。
●例えば、Y=X^2が1から0に収束するのと、Y=√Xが1から0に収束するのとでは経路が異なります。収束する先が直線だからとうことだけでは、円→直線の中間は常に楕円とは言いきれないと思います。
●色々説明を考えてみたいと思います。

回答No.7

doahodesu

No3ですが、おもしろいので再度書き込みます。
今度はNo6の方とは正に違う切り口でアプローチしてみました。

次のように、二等辺三角形と円を正しく並べて書いてください。
△△
○○
左の円錐を上から見て左回り（反時計回り）に90度回転させたものが右の円錐だと仮定しておき、左の三角形は△ABC、右のものは△A'DE、左の円の中心はO、右のものはO'とします。
ここに直線OO'、直線AO、直線A'O'を引きます。
さらに、辺ACの内部に点Qをとり、線分BQを引きます。
この線分BQが円錐の切り口ということにします。

★さらにどこでもいいのですが、左の円Oの周上に１点を決めます。
ここでは４等分されている円周の内の、左下の部分に点Pを決めます。
点Pから辺BCに垂線PP'を引き（P'は辺BC上の点です）、線分AP'と線分BQの交点をRとします。
その点Rを通り、底辺BC（DE）に平行な直線l(エル）を引きます。

次に、円Oの周上の点Pに対応する点P''を、円O'上にとってください。
（右の円は左の円を反時計回りに90度回転させたものであることから、簡単にコンパスでとれると思います。）
点P''から辺DEに垂線P''P'''（P'''は辺DE上の点）を下ろします。
このとき、線分A'P'''と直線l(エル）の交点をR'とすると、この点R'は切り口上の点であることになります。★
見難くて申し訳ありませんが、注意してくださいね。

円Oの周上の点Pを無数にとると、それに対応した点R'も無数にでき、点R'の軌跡が楕円（円を含む）を描くはずです。
（上記★～★間を繰り返し作図してください。）
この楕円は切り口の垂直方向から見た図ではありませんが、当然垂直方向から見ても楕円になりますね。

>理論的な定性説明
ではありませんが一応作図で説明できますので、小学生でも（優秀なお子様だと推測しています）理解可能ではないかと。

お礼

重ねてのアドバイス有り難うございます。
申し訳ありませんが、R’の軌跡がB側でもQ側でも同じ曲率半径になる（卵形にはならない）という説明には、どのようにして結びつくのか、一寸判り難いのですが・・・。

回答No.6

silverbear

CADで試しに書いてみました。
結構納得しました。　もしCADがあればCADを使って、無ければ手書きでやってみてください。

（１）まず円錐の絵を（三角図法で）書きます。大き目が良いです。
（横から見た図（三角）と上から見た図（丸：底面）を縦に並べます）

（２）次に円錐を斜めに切ります。
（三角の図に斜めに直線を引きます。）

（３）三角の頂点から等角度で１０等分にします。　（三角の底辺を１０等分にして、それぞれを頂点と結びます）

（４）（２）で書いた斜めの線と（３）で書いた線（１０本）の交点から垂直に円まで線を引きます。
ココで気づくことは（４）の線は等間隔ではないと言うことです。
円錐の先に近い方は線の幅が狭くなっています。これが楕円の秘密です。
もし分からなければ続きを。

（５）円（底面）の内側に切断先端の小さい径の円と大きい径の円の２つの円を書き、さらに小さい円と大きい円の同心円を１０等分書く。
（４）の線と（５）の線の交点を実際の断面に会うように直線で結んでいきます。
すると切断先端の小さい径の円と大きい径の円に内接する？円が出来ます。（１０等分でやりましたが、１００等分ぐらいにするときれいに出ます）No3の方の図と同じものが完成します。

上から見た図が円と言う事は、実際には円錐を斜めに切っていますので立体の切り口を正面から見ると楕円になります。

何で？と言われれば、（４）の部分が重要だと思います。
まぁ、作図してみて分かったと言うレベルですので当てにならないかもしれませんし、図無しの文字だけで説明するのも伝わりにくいと思います。
CADで書くことを勧めます。手書きだとかなり辛いと思います。（CADの変わりにエクセルや花子、ペイントでも工夫すれば出来ると思います。）

お礼

早速のアドバイス有り難うございます。作図すれば楕円になることは判っているのですが、相手が小学生です、卵型にならないという点での定性的な説明に苦慮しています。

回答No.4

twinkleluz

> ●しかし、斜め切断の一方は円錐の小さな円の方を切り、他方は大きな円の方を切ることになります。

これは、真上から見たときに、切り口が小さい円と大きい円に分かれるのではないかな？と思われているわけですね。
円錐の一番直径が太い？と見える部分で分けた場合に。

切り口を地面と平行にするように円錐を傾けてみると、楕円のいちばん太い直径の部分が真ん中に来ます。
なので、大きい円と小さい円の区別などは意識しなくていいです。

という説明でどうでしょうか。
円錐の中心＝楕円の中心と錯覚してしまうのでうまく説明できないのではないかと思いました。

お礼

早速のアドバイス有り難うございます。文章不備で「円が分かれているとの理解」になったようです。円錐の中心と楕円の中心は別位置という点は、なるほどそうでした。もう少し考えて見ます。

回答No.3

doahodesu

以下の通りに正しく作図してください。
大小２つの同心円を描き、中心に点を打ちます。
大きい円の最下部と小さい円の最上部を通る、最小の円を描きます。
（２つの円のどちらにも内接の位置にある円です。）

この図は円錐とその切り口の平面図ですね。
おっしゃることはよくわかります。
私も昔高校生だった頃、自分でこの図を書いて何となく理解しました。

お礼

早速のアドバイス有り難うございます。小さい円に外接し大きい円に内接する円を描くという説明は、大変参考になります。ただ、円錐を斜めに切ったものを上から見ると「円」になるのか？という新たな質問（楕円や卵型になりはしないかとの疑問）が出そうです。もう少し考えて見ます。

回答No.2

wulong

直感です。すみません。
上も下も別にその位置の外周の曲率は関係ないです。
その位置に点として接触するだけで、円周の一部を取り込むわけではありません。

詳しい説明は専門の方待ちということで。

お礼

早速のアドバイス有り難うございます。仰る通り円周の一部を取り込んでいるわけではないと理解しています。このあたりを、子供向けにどう説明するかで悩んでいます。

回答No.1

matuandake

楕円になります。
大根をきって見せてあげてください

お礼

早速のアドバイス有り難うございました。
質問の趣旨は、何故卵形にならないのか、と言う点です。