∫（－π～π)（x-asinx-bcosx)^2d

質問

∫（－π～π)（x-asinx-bcosx)^2dx の計算の仕方を教えてください。

回答No.3

alice_44

場合分けする意味が解らん。

回答No.2

info22_

I=∫(-π～π)（x-a*sin(x)-b*cos(x))^2dx
a=b=0の時
I=∫(-π～π)x^2 dx
=2∫(0～π)x^2 dx
=(1/3)π^3
=I1

a=0,b≠0の時
I=∫(-π～π)（x-b*cos(x))^2dx
=∫(-π～π)（x^2+(b^2)*(cos(x))^2-2b*x*cos(x))dx
=I1+I2+I3
ここでI1,I3は既に計算した定積分であり,I2,I3は以下の通り。
I2=∫(-π～π) (b^2)*(cos(x))^2dx
=(b^2)∫(-π～π) (1/2)(1+cos(2x))dx
=(b^2)∫(-π～π) (1/2)dx
=πb^2
I3=∫(-π～π)（-2b*x*cos(x))dx
=-2b∫(-π～π) x*cos(x) dx
=0 (∵奇関数の対称区間での積分)

a≠0,b=0の時
I=∫(-π～π)（x-a*sin(x))^2dx
=∫(-π～π)（x^2+(a^2)*(sin(x))^2-2a*x*sin(x))dx
=I1+I4+I5
ここでI1は既に計算した定積分であり,I4,I5は以下の通り。
I4=∫(-π～π) (a^2)*(sin(x))^2dx
=(a^2)∫(-π～π) (1/2)(1-cos(2x))dx
=(a^2)∫(-π～π) (1/2)dx
=πa^2
I5=∫(-π～π)（-2a*x*sin(x))dx
=2a∫(-π～π) -x*sin(x) dx
=4a∫(0～π) -x*sin(x) dx (∵偶関数の対称区間での積分)
=4a{[xcos(x)](0～π)-∫(0～π)cos(x)dx}
=4a{-π+0}
=-4aπ

a≠0,b≠0の時
I=∫(-π～π)（x-a*sin(x)-b*cos(x))^2dx
=∫(-π～π){x^2+(a^2)(sin(x))^2+(b^2)(cos(x))^2
-2ax*sin(x)-2bx*cos(x)+2ab*sin(x)cos(x)}dx
=I1+I4+I2+I5+I3+I6
ここで、I1,I4,I2,I5,I3は既に計算した定積分であり,I6は以下の通り。
I6=∫(-π～π)2ab*sin(x)cos(x)dx
=ab∫(-π～π) sin(2x)dx
=0 (∵sin(2x)の2周期にわたる定積分)

回答No.1

alice_44

普通に、被積分関数の括弧を展開して、項ごとの積分に分解する。

出てくる積分は、
∫ x^2 dx,
∫ (sin x)^2 dx,
∫ (cos x)^2 dx,
∫ x sin x dx,
∫ x cos x dx,
∫ sin x cos x dx
の 6 種類。

∫ x^2 dx は、多項式の積分。
∫ (sin x)^2 dx と
∫ (cos x)^2 dx は、cos の倍角公式を使って積分。
∫ x sin x dx と
∫ x cos x dx は、部分積分を使って積分。
∫ sin x cos x dx は、sin の倍角公式を使って積分。

全て、基本どおり。