極方程式のグラフ

質問

極方程式：r=1-1/(1+ae^t)でa>0とa<0の場合のグラフを描きたいのですが、どのように考えればよいでしょうか。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

極方程式のグラフというのは、
(r cos t, r sin t) の軌跡のことですね？

u = 1 + a e^t,
r = 1 - 1/u　と分解してみましょうか。

dr/dt = (dr/du)(du/dt) = (1/u^2)(a e^t) で、
これの正負は a と一致します。
r は t について単調増加または単調減少です。
a > 0 なら右回り、
a < 0 なら左回りの、ある種の螺旋を描きます。

a > 0 の場合は、
t = -∞ → +∞　が
u = 1 → +∞,
r = 0 → 1　に単調に対応し、
原点から出て、単位円に内側から漸近する
右回りの螺旋になるだけですが…

a < 0 の場合は、
少し面倒くさいですね。

t = -∞ → -log|a|　が
u = 1 → +0,
r = 0 → -∞、　　　　…[1]

t = -log|a| → +∞　が
u = -0 → -∞,
r = +∞ → 1　　　　　…[2]
と対応するので、

[1] の部分が、原点から出て、
無限遠まで続く左回りの螺旋。
[2] の部分が、無限遠からやって来て、
単位円に外側から漸近する左回りの螺旋
になります。

お礼

よく分かりました。ありがとうございます。

回答No.4

info22_

グラフの大凡な形状は想像できても、具体的なグラフのプロットは専用のフリーのグラフィクソフトを使うと良いでしょう。

添付図をグラフィックソフトで描いて添付しますので参考にしてください。極方程式のグラフはr=f(θ)であらわすのが一般的なので設問の式のtをθでおきかえています。
　r=f(θ)=1-1/(1+a·e^θ)

グラフの説明
a>0の代表としてa＝0.5,a<0の代表としてa=-0.5としてプロットしてあります。いずれの場合もθ→∞で原点中心、半径r=1の円に収束します。

a>0の場合（赤線）A（θ=0)が出発点、反時計回りに螺旋を描き
半径r=1の円に収束する（θ=２πで一回転）。
a<0の場合（青線）B（θ=0)が出発点、0≦θ＜-log(-a)で時計回りに左下方向にグラフが伸びていく。θ=-log(-a)でr=±∞で
漸近線が存在する(漸近線の傾きはtan(-log(-a))。θ＞-log(-a)で
右上上方からグラフが伸びてきて反時計回りの螺旋を描き半径r=1の円に収束する。

お礼

図まで添付してくださり、ありがとうございます。

回答No.2

spring135

極方程式とは一般に動径ｒを偏角θの関数で表します。eは偏角θのことですか？

回答No.1

noname#180442

何かのグラフ描画ソフトで描いてみると、グラフの形状がイメージできます。やはり、微分するしかないですよね。