極方程式のグラフの求め方

質問

極方程式のグラフの求め方がわかりません。
C:r=asin2θのグラフですが、
x(θ)=rcosθ=asin2θcosθ
y(θ)=rsinθ=asin2θsinθであり、dx/dθ,dy/dθを求めて増減表を用いてグラフを作るということは理解できるのですが、x(θ),y(θ)はそれぞれθの奇関数、遇関数である→何故？
これよりｙ軸に関して対象であるので、0<=θ<=πで調べると十分である。→何故？？
また、x(π-θ)=x(θ),y(π-θ)=-y(θ)であるから、Cのπ/2<=θ<=π,0<=θ<=π/2それぞれに対応する部分はx軸に関して対象である、したがって0<=θ<=π/2で調べると十分である。→何故？？？
といった具合に範囲の設定が理解できません。
教えてください。

回答No.2

KI401 · ベストアンサー

>> #1.補足
> 例えばr=sin2x,r=cos2x,r=sin3x・・・・・等のグラフの形は暗記のほうがよいのでしょうか？

数題の練習問題をやれば大体イメージできるようになるから、丸暗記はしなくてもいいよ。
基本的にはｘ、ｙに直して微分して表を書く、っていう方向でOK。

ただ、極座標のままグラフ描いてもいいと思う。
問題の解答としてどうかは置いておいて、だいたいグラフの形状は分かる。

例えば、r=sin2θの場合。0≦θ≦πだけ調べる。

r ' = 2cos2θ
よって、dr/dθ=0 になるのは、θ=π/4, 3π/4 のとき
増減表: (読みづらかったらごめん)
　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　θ　|　0　π/4　　π/2　　3π/4　π
　r'　　|　　+　　0　　　-　　　　　0　　　+
　r 　　|　0　増　1　減　0　減　-1　増　0
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
これで大体の予想がつく。
(r,θ)= (0,0), (1,π/4), (0,π/2), (-1, 3π/4), (0,π)
と主要な点をプロットして、その増減を考えて点を結んでいけば、およその形が分かるよね？

ｘ、ｙに直したやつで自信がなかったら、こうやって極座標の方で簡単にチェックするといい。
もっと正確に描きたいなら、同心円 r= 1/2, √2/2, √3/2, 1 とかを簡単に描いて、
θ=π/6とかの点もプロットするとより正確に描ける。
（曲線の傾きが具体的に分からないので、あくまでチェック用ね）

あと、極座標のグラフ描画ができるフリーソフトを探してきて、
色々試して遊んでみるっていうのも言うのもいいかも。結構面白いと思うよ。
色々自分で試してみれば極座標の式見ただけでグラフの想像もつくようになるし。

補足

ご丁寧な説明大変有難うございます。
理解力がなくて申し訳ないのですが、rとθの値を直交座標に変換してこの増減表を見ながら、グラフを書くということですよね？
勘違いしていたらごめんなさい

回答No.4

info22

#3です。
> r=asin(2θ)
は
r=arcsin(2θ)=sin^(-1)(2θ)
ではなくて
やはり
r=a*sin(2θ)(a>0)
でしたか？

r=a*sin(2θ)(a>0)なら
この極座標のグラフを
a=1として極座標グラフ用紙にプロットしたものを
添付して置きますので参考にして下さい。
(反時計方向に角θ、半径方向にr=a*cos(2θ)をプロットした図)

回答No.3

info22

r=arcsin(2θ)
のグラフですか？

その場合
>0<=θ<=πで調べると十分である。→何故？？
>0<=θ<=π/2で調べると十分である。→何故？？？

この範囲の中で
arcsin(2θ)の主値の定義域から
-1/2≦θ≦1/2
となりますので注意して下さい。
そしてy軸対称から0≦θ≦1/2に対応するグラフから
対称移動して-1/2≦θ≦0に対応するグラフを描けばいいです。

arcsin(2θ)を主値の範囲d考えるなら
-1≦2θ≦1
つまり
-1/2≦θ≦1/2
となりますが？

グラフがy軸対称なので
0≦θ≦1/2
で考えると
この範囲では
r=arcsin(2θ)
をx,y座標に直せば
y=x*tan(sin(√(x^2+y^2))/2)　（ただし,0≦x≦(π/2)cos(1/2)）
となります。
y軸対称なので-1/2≦θ≦0の方
y=x*tan(sin(-√(x^2+y^2))/2)　（ただし,0≧x≧-(π/2)cos(1/2)）
をあわせてグラフを描くと添付図の様になります。

最も極座標グラフ用紙があれば、直接r=arcsin(2θ)(-1/2≦θ≦1/2)のグラフをプロットすれば良いかと思います。
その際
dr/dθ=2/√(1-4θ^2)>0なのでθの単調増加関数になります。
また-1/2≦θ≦0の部分はr≦0になるは0≦θ≦1/2のグラフをy軸に対称
移動してやれば良いですね。

回答No.1

KI401

奇関数、偶関数については理解していますよね？
　f(-x) = -f(x) : 奇
　f(-x) = f(x) : 偶
だから、
　奇関数×偶関数＝奇関数
　奇関数×奇関数＝偶関数
です。他の組み合わせも試してみてください。
上の定義通り計算してみれば、簡単に確かめられますよ。

で、sinは奇関数、cosは偶関数なので関数x,yの偶奇が分かります。
　x(-θ) = -x(θ)
　y(-θ) = y(θ)
ということは、点(x(-θ),y(-θ))は、点(x(θ),y(θ))のy軸に関して対称な点(-x(θ),y(θ))になっています。
従って曲線はy軸対称です。

x,yはθについて2πの周期関数なので、-π≦θ≦πについて調べればいいのですが、
　(x,y) ⇔ (-x,y)
　　θ　⇔　-θ
と対応していることから、-π≦θ＜0の部分は調べなくても、0≦θ≦πの区間だけ調べれば、
あとはｙ軸に関しており返せばいいことになります。

で、グラフを書くと四葉のクローバーみたいになります。

補足

有難うございます。上記の内容は理解できました。
極方程式のグラフの求め方は自信が全然出ないのですが、ある程度のパターンを覚えるほうがよいのでしょうか？
例えばr=sin2x,r=cos2x,r=sin3x・・・・・等のグラフの形は暗記のほうがよいのでしょうか？
つまらない質問で申し訳ございません。