傾斜面での単振動

質問

水平面ＡＣから３０°傾いた斜面ＡＢに沿って、質量の無視できるバネの一端を斜面下端のついたてに固定し、他方の端に大きさの無視できる質量ｍの物体Ａを固定した。
バネは自然長からＬだけ縮んでつりあったこの位置を原点Ｏとする。
重力加速度をｇ、バネ定数をｋとする。このとき斜面に沿って上方にｄだけひっぱって手を離したときの角振動数を求めなさい。

自分は角振動数を求めるときは、運動方程式をたてて加速度について解き

加速度＝－ω二乗（振動の中心からの変位－振動の中心）

とくらべて解いてたのですが、今回運動方程式を立てたら加速度をa
として

ma＝mgsin30-kd

という式となりこれをaについて、解いて式を比べようと思ったのですが、解答ではmgsin30を無視してma＝－ｋｄの式についてくらべていました。

単振動の時は外力を無視して考えるのでしょうか。

どうか教えてくださいよろしくお願いいたします。

回答No.3

BookerL · ベストアンサー

＞単振動の時は外力を無視して考えるのでしょうか。

　いや、そういうわけではないのです。

　この問題であれば、物体は「ばねからの力」「重力」「斜面からの垂直抗力」を受け、それらの力による運動をします。このうち、垂直抗力は重力の斜面に垂直な成分と打ち消しあうので、「ばねからの力」と「重力の斜面方向成分」を考えることになります。

　ばねからの力は「つりあいの位置からの変位」ではなく、「自然長からの変位」に比例します。自然長から Ｌ だけ縮んだところがつりあいの位置なので、このとき既にばねから ｋＬ の力を受けています。（斜面上向きを正の向きとする）ここでつりあっているので、ｋＬ は重力の斜面方向成分 ｍｇsin３０°と同じ大きさです。

　さて、つりあいの位置から ｄ だけ上方に引っ張ったとき、物体にはたらくばねからの力は ｋ(Ｌ － ｄ) になります。重力の斜面方向成分は ｍｇsin３０°のままですから、運動方程式は

　ｍａ ＝ ｋ(Ｌ － ｄ) － ｍｇsin３０°

となります。ここで（　）を展開すると、ｋＬ ＝ ｍｇsin３０°なので

　ｍａ ＝ －ｋｄ

となります。

……と、ちょっと邪魔くさい計算をした結果 ｍａ ＝ －ｋｄ が出てきているので、決して「外力を無視」しているわけではありません。

　一度これを理解しておくと、実際に式を作るとき、問題の条件からいきなり ｍａ ＝ －ｋｄ としていいわけです。
　つまり、単振動は、「つりあいの位置」からの変位に比例した復元力による運動である、ということを利用します。この問題ではつりあいの位置は自然長から Ｌ だけ縮んだところですが、ここを原点とすると、このつりあいの位置からの変位 ｄ に比例した復元力が働き、その比例定数はばね定数になるわけです。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
まさかばねの単振動がこんな過程をふんでるとは思いませんでした。おかげですっきりすることができました。ありがとうございます

回答No.2

carvelo

まず，ばねが自然長のときの位置を原点，斜面下向きを正としてX軸を取って運動方程式を立ててみると，加速度をaとして

ma = mgsin30-kX

となります（上向き正としても，mgsin30にマイナスの符号がつくだけですね）．これを変形すると

ma = -k(X-(mgsin30)/k)

ですから，x=X-(mgsin30)/kとしてやれば（座標を変換してやるということですね．aはXの２階の時間微分です．xを時間で２回微分しても結局，定数項の時間微分が消えてXの２回微分になり，座標を変換してもやっぱり加速度はaのままです）

ma = -kx

となります．こんな風に，単振動の運動方程式に重力の項が入ってくる場合には，重力の効果を変位に入れ込んでしまうことができます．
xを見てみると，力のつり合いの位置でx=0ですね．問題文の「バネは自然長からＬだけ縮んでつりあったこの位置を原点Ｏとする」というのは，「重力の影響を変位に押し込んでしまった後の運動方程式で考えなさい」という指示だったわけです．だから，解答の式では重力の項を無視してしまっているのです．

ちなみに，「斜面に沿って上方にｄだけひっぱって手を離した」という条件は，運動方程式を解く場合に必要になりますが，角振動数を求める場合には使いません．

お礼

そんな指示をされていたとはきづきませんでした。
だから重力の影響が外見状消えたかたちになった式が出てきたのですか
おかげで理解できました。ありがとうございます。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

あなたの書かれた運動方程式は、斜面下向きを＋の方向にしているのでしょうか？
「－ｋｄ」という項は上向きの力になり、おかしくないですか？

斜面下向きを＋の方向にすると、手を離した瞬間の運動方程式は
ma ＝ mgsin30 - k(L-d)
になります。
（ばねの伸び縮みを考えてみてください。）

ばねの力のつりあいから mgsin30 = kL であることを利用すると、
ma ＝ kd
になります。

ん？
解答と符号が違う？
なぜでしょうね？
考えてみてください。

ポイントは、
・どの方向を＋の方向とするか。
・ばねの力のつりあい mgsin30 = kL によって、運動方程式から項が消える。
（そのため、外力を無視したような形になる。）
です。

お礼

すいません。符号は完全な凡ミスです。
上方＋なら
ma＝－mgsin30＋kL－ｋｘ
となり力のつりあいを考慮すると
－mgsin30＋kLの部分が相殺されるのでma＝－ｋｘとなる
下方＋なら
ma＝mgsin30－ｋＬ＋ｋｘ
となり力のつりあいを考慮すると
mgsin30－ｋＬの部分が相殺されるのでma＝ｋｘとなる
さらにこれは振動の中心からみると常にプラスをとる
（∵下向き＋のため座標が－のとき力の向きも－のためその積は＋となる。
また座標が＋のとき力の向きも＋のためその積は＋となる）

ってことかと思います。
解答がはやくて、内容もとても参考になりました。
ありがとうごさいます。