集合

質問

３個の集合を与えたとき、その８通りの部分集合を示すために、３個の円を重ねたベン図を利用する。では４個の集合を与えたとき、４個の円を重ねてその１６通りの部分集合をうまく図示できるか？

↑出来ないっていうのはわかったんですけど、それをどう証明したら良いのかわかりません。。。

回答No.2

yuntanach · ベストアンサー

No.1さんの回答のとおりですが、
もうちょっとブレークダウンしてみます。

まず、三つの集合Ａ、Ｂ、Ｃの円からなるベン図に
第四の集合Ｄの円を付け加えたいという方針で
考えてみます。

このベン図の、例えば、Ｃの円に注目すると、
Ａの円との交点が二つにＢの円との交点が二つで
合計四つの交点があります。言い換えるとＣの円は
四つの弧から成っています。これはＡの円とＢの
円の大きさがＣの円と違うものであっても
同様です。

このベン図に、Ｄの円を追加するには、Ｃの円の
四つの弧のすべてを通過する必要があります。
なぜなら、Ｃの円の四つの弧で分割される
全ての領域について、Ｄの円に含まれる部分と
含まれない部分に分けなければ、少なくとも
Ｃの円に関してだけみてもベン図が完成
しないからです。

ここで、いくつかの点が与えられたときに、
可能性としていくつの円を書くことができる
かを考えてみます。円は二つの点を通るのなら
無数にかけますが、三つの点が与えられると
一つに特定され、四つの点の場合だと
一つをとった残りの三つの点から特定
される円上にその一つ目の点がなければなりません。

すると、Ｄの円が四つではなく三つの点を
通ると、それはＣの円そのものになってしまい、
また、二つの点を通るとすると、Ｃの四つの弧に
よる四つの領域の少なくとも一つの領域には
Ｄの円が全く交差しないことになってしまいます。

このように、Ｄの円は、Ｃの円の四つの弧と
交わるＣ上の四つの交点の上を通る必要がある
わけです。そして、Ｃの円との四つの交点を
必要とするＤの円はそのうち三つの交点が
Ｃ上にあるという段階でＣの円と一致するしか
ありえないことになります。

このようなわけで、四つ目の円Ｄはどうやっても
円Ｃと一致してしまい、よって、このベン図は
四つの集合からなるベン図にならないということに
なります。

ちなみに、集合の円が真円ではなく楕円であったり、
円でなく閉じた曲線であることも許されるなら、
上記のロジックはまた別の結論に導かれます。

回答No.1

yokomaya

３個の完成図のどこに円をのせてもそのいずれの部分集合をも分割出来る円が有り得ないからじゃないでしょうか？