集合のφ

質問

高校で習う数学の範囲では、“適当な集合においては、常にφが含まれる”と簡単に考えて差し支えないでしょうか？例えば集合｛a,b,c,d,e｝というのは｛a,b,c,d,e,φ｝のことだとみなしても問題ないでしょうか？
部分集合を答えよ、という問題で｛φ｝というのが含まれていたので、え？って思ってしまって。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

あなたが，「え？って思ってしまった」と言うことは，教え方が不完全であるということか，または，あなたが，授業を聞き漏らしたかです．高校で習う数学の範囲だけでなく，中学であろうと大学であろうと，数学上で「集合」という言葉を使って，「集合」を考えるとき，

● [ 全ての「集合」は「部分集合」として「空集合」を含む．]

と言うことを念頭に置いておかなければなりません．集合を｛a,b,c,d,e｝と書いたときには，{φ}⊂{a,b,c,d,e} です．つまり，一般に，{φ}⊂[任意の集合] と言うことです．しかし，慣例として，集合 {a,b,c,d,e} を{a,b,c,d,e,φ} とは書きません．これは，例えば，自然数 １ を １＋０とは書かないのと同じ感覚です．また，φ と {φ} は別物です．φ は，いわば，「空」(何もない）と言うことを表しますが，{φ} は元（要素）が何もないことを表す「集合」です．φ は，例えば，Ａ∩Ｂ＝φ のような使い方をします．Ａ∩Ｂ＝φ は，集合Ａと集合Ｂの共通部分（交わり）が何もない（空である）ことを表しています．このように，ただ φ と書いたときのφ は「集合」ではありません．なお，φ はギリシャ文字の φ（phi，ファイ）ではありません．「空集合」を表す特別な記号があります．この記号は数字の 0（ゼロ）に「斜めの棒」を引いたような「φ」に似ている記号です．TeX（テフ）などには，この「空集合」の記号が特別に用意されていますが，参考書，解説書，一般書などには，ギリシャ文字の φ（phi，ファイ）を使っている場合があります．「空集合」の特別な記号が別に在るのだ，ということを知っておくだけでいいでしょう．正式な数学論文では「空集合」の特別記号を用います．

長々と書きましたが，疑問をどんどん解消していって，自分の才能を伸ばして下さい．極端に言えば，小学生が大学院レベルの質問をしても，一向に差し支えありません．

お礼

ありがとうございます。
励みになりました。がんばります。
＞また，φ と {φ} は別物です．φ は，いわば，「空」(何もない）と言うことを表しますが，{φ} は元（要素）が何もないことを表す「集合」です．φ は，例えば，Ａ∩Ｂ＝φ のような使い方をします．Ａ∩Ｂ＝φ は，集合Ａと集合Ｂの共通部分（交わり）が何もない（空である）ことを表しています．このように，ただ φ と書いたときのφ は「集合」ではありません。
↑これすごくわかりました。ありがとうございます。

回答No.6

Knotopolog

i-tadさん．こんにちわ．Knotopolog です．
貴殿の質問「集合のφ」(07/11/15 07:40)に対して，間違った回答を
致しましたので，以下で訂正致します．申し訳ありませんでした．

＞集合を｛a,b,c,d,e｝と書いたときには，{φ}⊂{a,b,c,d,e}です．
＞つまり，一般に，{φ}⊂[任意の集合] と言うことです．

上記の {φ}⊂{a,b,c,d,e} と {φ}⊂[任意の集合] は記述の誤りで，
φ⊂{a,b,c,d,e} および φ⊂[任意の集合] です．

＞このように，ただ φ と書いたときの φ は「集合」ではありません．

上記は誤りで，φ は「空集合」を表す記号です．
勘違いとはいえ，重大な間違いでした．申し訳ありませんでした．
訂正いたします．（Knotopolog）

お礼

ご丁寧に回答ありがとうございます。

＞φ⊂{a,b,c,d,e} および φ⊂[任意の集合] です

↑すっきりしました。ありがとうございます。

回答No.5

yhposolihp

少し混乱があるようですので、浅薄ながら投稿致します。
高等学校の文脈（範囲）では、
通常では｛φ｝表記は目にするはずはないのです。
もっとも、通常と言う言葉自身が曲者ではあります。
以下、断言調になる事を許されたし。m(_ _)m

--------------
（１）
空集合はφで表す。
｛１｝、｛１,２｝、｛１,２,３｝、φ これらの表記は並存する。
架空の表記として、
｛１｝、｛１,２｝、｛１,２,３｝、｛ 　｝　となる。

（２）
べき集合なるものが存在する。
べき集合は、通常　高等学校では顔を出さないはずである。
しかるに、実際は顔をだす。
その例が、（　集合｛1,2,3 ｝の部分集合を答えよ。）である。
ただし　その場合には、８個の集合が併記される。
具体的には　　φ,｛１｝,｛2｝,｛3｝,｛1,2｝,｛2,3｝,｛3,1｝,｛1,2,3｝
これを見て、φが含まれるのを、感嘆/不思議　と感じたかとも思う。
｛1,2,3 ｝の部分集合の個数は２＾３。
重複順列の数え方と同じ。

（３）
通常　高等学校では、
｛　φ,｛１｝,｛2｝,｛3｝,｛1,2｝,｛2,3｝,｛3,1｝,｛1,2,3｝｝
と言う表記は　されない。
されない　だけであって　誤りとは言わない。
｛　φ,｛１｝,｛2｝,｛3｝,｛1,2｝,｛2,3｝,｛3,1｝,｛1,2,3｝｝は正しい表記である。
多分、どこかで見たのでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
スクロールして、上から半分までは行かない（1/3)程です。
---------

と　無い脳を搾りました。ご参考に。　(´・ω・｀)+(*^_^*)

＋

>>“適当な集合においては、常にφが含まれる”
と簡単に考えて差し支えないでしょうか？

差し支え は　ある　と思います。

>>例えば集合｛a,b,c,d,e｝というのは｛a,b,c,d,e,φ｝
のことだとみなしても問題ないでしょうか？

問題 は　あります。

>>部分集合を答えよ、という問題で｛φ｝
というのが含まれていたので、え？って思ってしまって。

　　この一文で・・・。

Ｐ.Ｓ.
補集合と余事象 のスレッドは、哲学か言語学か。
　　　　　　　　書こうと思っても日本語になりません。

お礼

回答ありがとうございます。
φの捕らえ方が曖昧だった、ということがはっきりしました。
ありがとうございます。

回答No.3

kumipapa

当然の疑問ですよね。

空集合は任意の集合の部分集合である。
任意の集合は、空集合を部分集合として包含する。

部分集合の定義ですが、集合Ｂが集合Ａの部分集合であるという定義は、
「x∈Ｂ ならば x∈Ａ」という命題が真である
ということなんですね。
じゃあ、空集合が部分集合になるかどうか、上の命題を書き換えると、「x∈φ ならば x∈Ａ」という命題の真偽を考える事になるのだけれど、φというのは何も元を持たない集合なので、この命題の「x∈φならば」という仮定の部分は偽。で、仮定が偽の命題は真である、ということで、「x∈φ ならば x∈Ａ」は集合Ａによらずに常に真。よって、φはすべての集合の部分集合。分かりにくいでしょう。
別法で説明すると、φが集合Ａの部分集合でないと仮定すると、定義より「ｘ∈φだが￢x∈Ａ（xはＡの元でない）」というｘが存在しなければならない。しかし、φは空集合なのでそのようなｘは存在しない。よって、φは集合Ａの部分集合である。もし、「Ａの元でないｘはＢの元にもならない」と言われてベン図を見れば、ＢはＡの部分集合だよなーと納得しますね。で、Ｂを空集合φに置き換えて、「Ａの元でないｘはφの元にもならない」からφはＡの部分集合ってわけです。
以上、余計混乱させたと半ば確信していますが、ともあれ、空集合は任意の集合の部分集合です。

なお、空集合を｛φ｝と表記するのは誤りです。空集合は｛｝かφです。遠い遠い昔、私が中学生のとき、集合の試験で｛φ｝と書いて×をくらって、先生に何故だめなのかと聞いたことがあります。｛φ｝と書いてしまうと、「空集合を元としてもつ集合」という意味になってしまい、空集合そのもののことではなくなってしまう。集合を元としてもつ集合、つまり集合の集合というものもあるので、安易に｛φ｝としてはいけません。中学生にそう教えてくれた当時の先生はそれなりに偉かったのだと思います。もし、あなたの使っている問題集に空集合の意味で｛φ｝と書かれているなら、すぐに捨てるか、出版社に説教を喰らわしてやりましょう。
ということで、集合{a,b}を{a,b,φ}と考えるのは誤りです。φという集合が元として属するという意味になってしまいますから。やはり、空集合はからっぽの集合ということで、｛｝として捉えるのが良いと思います。{a,b}から１個の元を外すと｛a｝と｛b｝、２個の元を外すと｛｝、これらと｛a,b｝自身がみんな部分集合、ということです。
最後に、ＡはＡ自身を部分集合として包含し、φもＡの部分集合である。また、φの部分集合はφのみである。

お礼

回答ありがとうございます。
空集合を｛φ｝と表記したのは僕の誤りです。
奥が深いですね。kumipapaさんの確信は間違っていません。僕は混乱してしまいました。もうちょっと考えて見ます。
ありがとうございました。

回答No.2

funoe

「含む」っていう言葉には2通りの意味があって、

・ある要素ｘが、集合Ａの要素であるときの「ｘはＡに含まれる」
　記号で書くと、　
　ｘ∈Ａ
っていう意味のときと、

・ある集合Ａの要素は、ことごとく集合Ｂにも含まれるっていうときの「ＡはＢに含まれる」
　記号で書くと
　Ａ⊂Ｂ
っていう意味のときがあります。

後者の方の意味で、空集合φは、いつでもどんな集合にでも（空集合にでさえ）含まれます。
つまり、
　どんな集合Ａに対しても、
　φ⊂Ａ　です。

>例えば集合｛a,b,c,d,e｝というのは｛a,b,c,d,e,φ｝のことだとみなしても問題ないでしょうか
問題ありまくりです。というか、ダメです。
「常にφが含まれる」というのを前者の意味で解釈してはいけないんです。

－－－
さて、部分集合とは、後者の意味で「含まれる」集合のことですから、
Ａ＝｛１，２｝のとき、
Ａ１＝｛１｝はＡの部分集合ですし、
Ａ２＝｛２｝もＡの部分集合ですし、
Ａ１２＝｛１，２｝もＡの部分集合ですし、
Ａ０＝φ　もＡの部分集合です。
Ａ１⊂Ａだし、Ａ１２⊂Ａだし、φ⊂Ａだからです。
Ａの部分集合の集合は、｛Ａ１，Ａ２，Ａ１２，φ｝となります。

単にある集合Ｘの部分集合を求めよっていう問題で、回答に｛φ｝が
あったら、それはきっと間違いです。
（あるいは、φを要素に含む集合なのか？）

お礼

回答ありがとうござます。
違いをよくわかっていなかったようです。
勉強になりました。

回答No.1

rinkun

φでなく｛φ｝ですか? 単なる記述ミスか質問者さんの読み違いでしょう。

“適当な集合においては、常にφが含まれる”なんてことは普通はないでしょう。
「適当な」というのが「φが含まれる」ということなら言えるでしょうけど。高校で習う範囲でそういう変な条件を付けることはまずないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
記入ミスでした。勉強になりました。