三角関数の合成

質問

f(x)=(a+b)/√2sinx+(a-b)/√2cosx

ただし、a>b>0 0≦x<2π

これがf(x)≧2を満たすxが存在し、そのすべてが0<x<π/2になるa、bを図示せよ。

という問題なんですが、xが存在するのは
a^2+b^2≧4

まで分かったのですが、次の条件の満たし方が全く分かりません。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f(x)={(a+b)/√2}sin(x)+{(a-b)/√2}cos(x)
a>b>0
0≦x<2π
0<t<π/2
cos(t)=(a+b)/√{2(a^2+b^2)}
sin(t)=(a-b)/√{2(a^2+b^2)}
とすると
f(x)={√(a^2+b^2)}{sin(x)cos(t)+cos(x)sin(t)}
={√(a^2+b^2)}sin(x+t)
f(x)={√(a^2+b^2)}sin(x+t)≧2となるxが存在するから
1≧sin(x+t)≧2/√(a^2+b^2)
a^2+b^2≧4
0<2/√(a^2+b^2)≦1
だから
0<u≦π/2
sin(u)=2/√(a^2+b^2)
とすると
sin(x+t)≧sin(u)>0
だから
u≦x+t≦π-u
u-t≦x≦π-u-t

x=π-u-tのとき
0<x<π/2
だから
π-u-t<π/2
u+t>π/2
u>π/2-t
0<π/2-t<u≦π/2だから
cos(t)=sin(π/2-t)<sin(u)
(a+b)/√{2(a^2+b^2)}=cos(t)<sin(u)=2/√(a^2+b^2)
∴
a+b<2√2
∴
(a,b)の範囲は
a>b>0
&
a^2+b^2≧4
&
a+b<2√2

お礼

すごい難しいですね!
理解はできましたが、自分では思いつきそうにないです。

ご回答ありがとうございました。