何度も似た問題ですみません（確率問題）

質問

前も似たような質問をしましたが、少し抽象的な説明ではなかったのかと思って、今度は例を挙げて書いてみました。もう一か月ぐらいこの問題で悩んできましたが、アドバイスでもいいですから、ぜひ教えてください、お願いします。
ある一日の実際の出荷データは277種類の製品、2310個の出荷数となっています。この2310個の製品を台車に並べていきます。1台の台車に最多40個の製品しか並べられません。しかも並べる順序は注文書どおりでなければなりません（車のヘッドレストなので、組み立てラインで組み立てる時の順序を考えて注文書を出しているので、順序は大事となります）。
例えば：注文書は1番目に製品ｘ、2番目に製品ｙ，、、、，40番目に製品ｗとなっているとすると、実際に1番目に製品ｘではなく製品aが入って、ほかの39個は全部合っているとしたら、順序相違の確率は1／40となります。もし1番目だけではなく、2番目も間違えて、ほかは全部合っていれば、その順序相違の確率は2／40となります、、、
このように、一日の出荷数をｒ個、製品の種類数をｎ個だと一般化して、労働者の過労の状況や、個人差や、注文書の文字の大きさなどすべて無視して、平準で考えたらどのような式ができるのでしょうか？

回答No.4

hg3

＞ある一年間の実績値は0.00102％でした。
＞理論値を計算して、実績値との差を比較して、
＞実際に一々チェックする必要があるかどうかを考えます。
なるほど、目的は分かりました。

しかし、最初の回答の通り、その理論値は計算できません。
理由も最初の回答にある通りですが、もう少し詳しく説明しましょう。

例えばｎ種類の製品の中から正しい製品を1種類選ぶ作業があるとします。
ある作業者がその作業を間違い起こす確率を計算することを考えてみましょう。

その作業者が全くランダムに製品を選ぶとすれば、正しい製品を選ぶ確率は1/nとなりますから、間違う確率は(n-1)/ｎと計算できます。
しかし、作業者はランダムに製品を選ぶわけではないですね。よって、正しい製品を選ぶ確率は、その人次第であり、たまたま間違う事もあるし、何千回作業しても全くミスしない可能性もあります。つまり、数学的な理論値など存在しないということです。

ご質問の作業で順序相違が起こる確率を考えても、理屈は全く同じです。理論値など存在しません。
ですから、「ある一年間の実績値0.00102％」が妥当なものかどうかを、製品の種類数や出荷数で理論的に判断することはできません。

敢えて言うなら、完璧に作業をこなせば0%になるのですから、これが理想値であると言うことになるでしょう。従って考えるべきなのは、どのような作業条件で順序相違が起こる確率が増えるかまたは減るかを見極めることと思います。そして、できるだけ順序相違が少なくなるような作業条件を見出すことで、ミスの発生率を0%に近づけることが重要でしょう。

というわけで、順序相違の有無をチェックする作業は、手間がかかっても続けざるを得ないと思われます。

もし、このチェック作業の手間をできるだけ省くにはどうすれば良いかということなら、手はあります。
それは、全部をひとつひとつ確認するのではなくて、抜き取り検査を行うのです。
何個のサンプルを選んで抜き取り検査を行えば、十分な精度で順序相違を見つけることができるかは、いろいろな前提条件を決めれば、確率論で計算することが可能です。

順序相違の理論値を求めるのではなく、作業方法やチェック方法の改善・効率化という視点で、再度ご検討されてはいかがでしょうか。

お礼

何度も説明してくれてありがとうございます。
＞作業者はランダムに製品を選ぶわけではないですね。よって、正しい製品を選ぶ確率は、その人次第であ＞り、たまたま間違う事もあるし、何千回作業しても全くミスしない可能性もあります。つまり、数学的な＞理論値など存在しないということです。
確かおっしゃる通りですね。

＞「ある一年間の実績値0.00102％」が妥当なものかどうかを、製品の種類数や出荷数で理論的に判断する＞ことはできません
ただ「年間間違いの製品数／年間出荷数」で計算しただけです、厳密に確率とは言えないかもしれませんね。自分も勉強不足ですみません。

＞順序相違の有無をチェックする作業は、手間がかかっても続けざるを得ないと思われます。
＞もし、このチェック作業の手間をできるだけ省くにはどうすれば良いかということなら、手はあります。
＞それは、全部をひとつひとつ確認するのではなくて、抜き取り検査を行うのです。
＞何個のサンプルを選んで抜き取り検査を行えば、十分な精度で順序相違を見つけることができるかは、い＞ろいろな前提条件を決めれば、確率論で計算することが可能です
皆様のご意見を上司に伝えてみます。受け取らないと思いますが、、、

以上、また参考しながらゆっくりと考えます、ありがとうございます。

回答No.3

MagicianKuma

相当お困りのようなので、何とかお役に立てればとは思いつつ・・・
＞実際に1番目に製品ｘではなく製品aが入って、ほかの39個は全部合っているとしたら、順序相違の確率は1／40となります。
まずここから考えてみましょう。1/40というのはどこから来たのでしょうか？想像するに、40個のなかから1個が間違ったとから1/40という数値が出てのでしょう。
これって何を意味するのかぐっと踏ん張って考えてみましょう。これはね結論から言うと、「40個のなかで1個だけ間違っていた場合、それが1番目である確率」なら不自然ではないですが、
「40個のうち1個だけ間違う確率」とは全然結びつきませんね。実際慎重な作業員なら40個のセットを100回並べても間違い０だったりしますよね。

＞もし1番目だけではなく、2番目も間違えて、ほかは全部合っていれば、その順序相違の確率は2／40となります
これも相当変ですね。これはね、「40個のうち2個間違っていた場合、それが1番目と2番めである確率」だとしても、40個から2個選ぶ場合の数は780通りですから、1/780です。
もちろん、「40個のうち2個間違う確率」の意味でも2/40なる数値はどこからもでてきません。

では、どんなモデルが考えられるか？　1例ですが、作業員が１個の出荷指示の製品を間違う確率をpとしましょう。（pはかなり小さい数値でしょう）
そして、その間違は別の出荷指示とは無関係に独立に同様な確率で起きるとします。すると、1日の出荷数rに対して、s個の間違いが起こる確率は二項分布に従います。
Pr(s)=rCs p^s・ (1-p)^(r-s)
製品の種類数nは出てきません。nが大きいと1個あたりの間違う確率pが大きくなると予想されますが、いずれにしろpに反映させる事柄でしょう。
台車の制限40個も式に出てきません。どういう意味を持つのか提示された内容では良く分かりません。

pはどうやって決めるか？　毎日の統計を取ってみましょう。p≂間違いの製品数/出荷数

こんなところでしょうか？

お礼

詳しいご回答ありがとうございます。
＞相当お困りのようなので、何とかお役に立てればとは思いつつ・・・
正直相当困りました。一時辞めることも考えました。統計学の勉強は大学時期に半年ぐらい授業を履修していただけですね、今ほとんど忘れましたし。皆様のご意見とかアドバイスとかを参考しながら、本や資料を調べてこの問題を解決しようと思って、何度も似たような質問をしました。

＞まずここから考えてみましょう。1/40というのはどこから来たのでしょうか？想像するに、40個のなか＞から1個が間違ったとから1/40という数値が出てのでしょう。
＞これって何を意味するのかぐっと踏ん張って考えてみましょう。これはね結論から言うと、「40個のな＞かで1個だけ間違っていた場合、それが1番目である確率」なら不自然ではないですが、
＞「40個のうち1個だけ間違う確率」とは全然結びつきませんね。実際慎重な作業員なら40個のセットを
＞100回並べても間違い０だったりしますよね。
ある一年間の実績値は0.00102％でした。その実績値の計算は順序相違数／出荷数でした。もしかしたらこれは確率だと言えず、「比率」？自分もよくわからないですが、すみません。

＞1日の出荷数rに対して、s個の間違いが起こる確率は二項分布に従います。
＞Pr(s)=rCs p^s・ (1-p)^(r-s)
この式で計算しようと思ったら、出荷数rは既知ですね、sは間違いの個数なので、仮定で決められますね。
＞pはどうやって決めるか？　毎日の統計を取ってみましょう。p≂間違いの製品数/出荷数
ここは良くわかりません。Pr(s)=rCs p^s・ (1-p)^(r-s)：この式で年間の確率を求めるなら、「p≂間違いの製品数/出荷数」ということは一年中の間違い製品数／年間出荷数のことですかね。実際のデータを見てみると、ある一年間の出荷数は117万、順序相違の数は12個でした。p≂12／117万となるのでしょうか？

＞製品の種類数nは出てきません。nが大きいと1個あたりの間違う確率pが大きくなると予想されますが、＞いずれにしろpに反映させる事柄でしょう。
＞台車の制限40個も式に出てきません。
種類数を入れたいですね、ここはまた考えます。
台車の制限は入れなくてもいいと思います。別に一台車に40個でなければならないということはないです。たまたま一台車に最多40個しか入れませんので、台車の積載量は50個だったら、ここも50になりますから。最初は、年間の確率がほしいですが、年間の出荷数を見てみると、かなり大きい数字（117万）なので、計算にはややこしいと思って、台車ごと（40個）の確率をまず計算しようと思っただけです。

以上、外国人なので時々変な日本語を使ってしまい、うまく説明できなかったところもあると思いますが、すみません。

回答No.2

fluidicB

以前の質問を含めて拝見してみました。

おそらくいろんなことをよくわかっていないまま、難しい本に書いてある何か役に立ちそうな気がすることを見つけて、いろいろ間違ったまま追いかけているように見えます。

今回の質問にある順序相違の確率1/40や2/40という数字か定義か何かが間違っています。
あるいは、一般の確率を議論する人とは圧倒的に違う日本語で動いています。

そちらの会社（もしやお味噌工場の北となりさん？）での用語がよくわからないのですが、
そもそも顧客は順序を含めて正確に出荷して欲しいんですよね。
それで、おかしいことになっているということを議論するなら、
一番ありそうなのは出荷数に対するミスの数です。分母は40じゃなくて、
御社の実績の場合、ひと月くらいの出荷数分の、その月の出荷ミス数　くらいで計算。

多くの人が指摘するように、その数字に理論値はありません。
ＱＣの議論をするなら、先月の実績よりもその実績確率を減らそうとか。

独立試行の２値なので、こういうのはベルヌーイ試行とよばれて、ベルヌーイ分布に
従う、とかどこかの本に書いてあったんですよね。
でも、そこから先、なかなか繋がっていかないです。
一応、ですが、エクセルで計算してくれない巨大な数字も、フリーソフトのMaximaってのに
頼ると、まじめに数字を出してくれたりするんですが...いやいや余計なこと書きました。

で、二値分布は組合せ計算を含んでややこしいので有名な近似式があります。
ポアソン分布っていいます。試行の数が数十（まぁ30とか）を超えると、現実的な有効数字で
一致しますので、関数電卓でも計算できるレベルになってきます。
いわゆるｎ数、質問者さまのある一日でいう、2310個という数字は、数十というレベルとくらべて
桁違いに大きいので、ポアソン分布でＯＫでしょう。

台車に40個、という数字が意味を持つのは、低い確率を議論しているとき、
「ある台車の40個のなかに、２つ、３つ、運悪いことが重なる確率」を議論できたりします。

ただ、引っかかるのは順序のミスということ。
たとえば13番目と14番目を入れ替えると、在庫チェック的に問題ないけど、
顧客からすると、不良個数が２　ってことでしょ。
１つのミスが２つの不良品を産みます。
台車に全部違う種類のものが乗っているとして、１番目を最後に置き直すと、40個ともミスってことですよね。
ということが言えてしまうなら、これは独立試行じゃない、って意味です。なので二値分布もポアソン分布も成立しません。

台車が40という数字にやたらこだわっているのが不思議なんですよ。
出荷における、適当な境目でしかないはずなので、台車単位で何を考えたいのだろうと。

さらに製品種類数にもこだわっていますよね。
たしかに種類が多ければミスも起きやすいだろうと、漠然と思いますが、
それを考慮した計算を行いたいですか？
ある意味で順番を間違える操作を行ったにも関わらず、入れ替わったものが同じ種類の製品だったため問題にならない確率、ってのが無視できるほど小さければ、製品種類数は、すでに十分多い、ってことで計算の対象ではありません。不良品確率を導くいわゆる数学の計算式には入らない数字ですよ。
横軸に種類数をとって、縦軸に不良品数をとって、相関があるかみるとか。
天気や、担当者や、何かの配置法や、注文書の文字の大きさと同レベルに製品の種類数を考えるべきですよね。

すみません、結局お役にたててなそうに思いますが。

お礼

ご回答ありがとうございます。
>おそらくいろんなことをよくわかっていないまま、難しい本に書いてある何か役に立ちそうな気がする
>ことを見つけて、いろいろ間違ったまま追いかけているように見えます。
>今回の質問にある順序相違の確率1/40や2/40という数字か定義か何かが間違っています。
>あるいは、一般の確率を議論する人とは圧倒的に違う日本語で動いています。
確かご指摘されたように、自分もわからないところが多いです。大学で統計学を履修しましたが、基礎で何年間も経ってほとんど忘れました。そして外国人なので、時々変な日本語を使い、そこはどうか許してください。

>そちらの会社（もしやお味噌工場の北となりさん？）での用語がよくわからないのですが、
>そもそも顧客は順序を含めて正確に出荷して欲しいんですよね。
>それで、おかしいことになっているということを議論するなら、
>一番ありそうなのは出荷数に対するミスの数です。分母は40じゃなくて、
>御社の実績の場合、ひと月くらいの出荷数分の、その月の出荷ミス数　くらいで計算。
もちろん分母は40だけじゃないです。ただ１台車に40個の製品を積めているので、簡単な数字から計算を始めようと思うだけでした。

>たとえば13番目と14番目を入れ替えると、在庫チェック的に問題ないけど、
>顧客からすると、不良個数が２　ってことでしょ。
>１つのミスが２つの不良品を産みます。
必ずしもそうではありません。13番目と14番目を入れ替えると、不良個数が２ということは間違いはありませんが、「１つのミスが２つの不良品を産みます」ではなくて、二つのミスだと見なしたほうが妥当だと思います。つまり、13番も14番も違う製品を入れたということです。
>台車に全部違う種類のものが乗っているとして、１番目を最後に置き直すと、40個ともミスってことです>よね。
ここも理解のずれがあるようです。１番目は製品a、40番目は製品wだとすると、「１番目を最後に置き直すと」は製品aが40番目に入れられたという意味しかとらえません。「40個ともミスってことです」ということは断然ないでしょう。

>台車が40という数字にやたらこだわっているのが不思議なんですよ。
>出荷における、適当な境目でしかないはずなので、台車単位で何を考えたいのだろうと。
不思議だと思われても現実はそうやっています。「台車単位で何を考えたい」というより、組み立ての時に便利だということでしょう。

>さらに製品種類数にもこだわっていますよね。
>たしかに種類が多ければミスも起きやすいだろうと、漠然と思いますが、
>それを考慮した計算を行いたいですか？
その通りです。

以上、自分わからないところが多いので、説明にならないかもしれません。
またゆっくりと皆様のご意見とアドバイスを参考しながら考えていきたいと思います。

回答No.1

hg3

質問者さんの言う「順序相違の確率」なるものは、理論的には計算できません。
何故なら、そもそも、労働者は、順序相違が無いように製品を並べようとしているのですよね。（決して、製品をランダムに並べているのでは無いはずですね。）
つまり、順序相違が起きるのは労働者即ち人間のミスであり、人間がミスする確率は、論理的に計算できるものではないからです。
人間がミスをするかどうかは、労働者の過労の状況や、個人差、作業環境によって大きく影響されるのであって、それを無視したら、確率を調べる意味がありません。

まずは、質問者さんが、このような計算によって何を知りたいのを整理した方が良いですね。

以下は、全くの推測ですが、おそらく質問者さんは、製品の種類の数や、出荷数によって、順序相違即ちミスの数に何かしらの規則性があるのではないかと考えているのではないでしょうか？
もし、そのようなことを知りたいのなら、理論的な計算で求めるのでなく、過去の実績データの解析をする方が早いと思われます。

いずれにせよ、そのような計算なり解析で、何を知ろうとしているのかによって、計算方法なり解析方法が変わりますから、まずは、そこを明確にしないといけません。

お礼

さっそくのご回答ありがとうございます。
説明不足ですみません。

＜まずは、質問者さんが、このような計算によって何を知りたいのを整理した方が良いですね。

＜以下は、全くの推測ですが、おそらく質問者さんは、製品の種類の数や、出荷数によって、順序相違即ち＜ミスの数に何かしらの規則性があるのではないかと考えているのではないでしょうか？
＜もし、そのようなことを知りたいのなら、理論的な計算で求めるのでなく、過去の実績データの解析をす＜る方が早いと思われます。

１台車に４０個の製品を積めていますが、その中に順序相違があるかどうか、作業員は毎日一々チェックしなければなりません。すごく時間のかかる作業です。それでも数少ないですが、順序相違が出ています。ある一年間の実績値は0.00102％でした。理論値を計算して、実績値との差を比較して、実際に一々チェックする必要があるかどうかを考えます。