確率ですが、ずっと悩んでいます。

質問

全部でｎ種類のシールが１枚おまけでついてくる商品があるとします。どの種類のシールがでる確率もすべて一定とします。このとき、全ての種類のシールを集めるために必要な商品の購買数の期待値は？
期待個数＝ｎ×（1+(1/2)+(1/3)+(1/4)・・・・+(1/n)）
という結果をみたのですが、どうしても理由が分かりません。

回答No.1

DESTINY · ベストアンサー

最初の１枚目を引くときはカードは何でも良いので確率は１です。期待値も１になります。
　２個目は、最初の１枚目と違うカードを引く必要があり、その確率は(n-1)/nです。このような確率の期待値は逆数になりますのでn/(n-1)。
同様に、３枚目の期待値はn/(n-2)。

n-3枚を集め終わったとき、残る3枚のどれかを手に入れる確率は(n-(n-3))/n=3/nで、期待値はn/3です。同様に２枚残しているときの期待値はn/2、最後の１枚の期待値はn/1となります。
これらを足して、

期待値=1+n/(n-1)+n/(n-2)+・・・n/3+n/2+n

nでくくると
期待値=n×(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+・・・1/3+1/2+1)

前後を入れ替えると質問の式になります。

ということで説明はよろしいでしょうか？

お礼

当に目からうろこ、納得しました。
ありがとう御座いました。