積分の計算

質問

1. ∫y/√(1+cy^2)dy=√(1+cy^2)/c
となるのはどうしてでしょうか。
2. ∫1/(v^2+3v+1)dv
の計算はどうなるでしょうか。

回答No.3

info22_

No.1,No.1です。

ANo.1の補足の2についての質問について

>2の解法は分数の解き方として一般的なのでしょうか。
そう、極めて一般的で基本的な解き方です。
部分分数分解法は、分数関数を部分分数に分解する基本的な数学の技法で、中学～高一の数学で習い、各種問題を解く過程で頻繁に使われます。
積分や恒等式やラプラス逆変換、数列の和の計算、その他、色々な計算過程で使われます。
公式：1/(x^2-a^2)={1/(2a)}*{(1/(x-a))-(1/(x+a))}

2について
>t=v+(3/2)
>I=∫1/(t^2-(5/4))dt
>=∫1/((t-√5/2)(t+√5/2))dt
>=(1/√5)∫{1/(t-√5/2)-1/(t+√5/2)}dt
>=(1/√5){log|(t-√5/2)/(t+√5/2)| +c'
>あとはtをvに戻すだけです。

I=(1/√5){log|(v+((3-√5)/2))/(v+((3+√5)/2))| +c'　…(★)

これでもいいですが更に変形してlogの中の分母の有理化をして
=(1/√5){log|(v+((3-√5)/2))^2/((v+(3/2))^2-(√5/2)^2)| +c'
=(1/√5){log|(v+((3-√5)/2))^2/(v^2+3v+1)| +c'
=(2√5/5)log|(v+((3-√5)/2))|-(√5/5)log|(v^2+3v+1)| +c'

でも良いし、
(★)のlogの中の分子の有理化をして
=(1/√5){log|((v+(3/2))^2-(√5/2)^2)/(v+((3+√5)/2))^2| +c'
=(1/√5){log|(v^2+3v+1)/(v+((3+√5)/2))^2| +c'
=(√5/5)log|(v^2+3v+1)|-(2√5/5)log|(v+((3+√5)/2))| +c'

でも良いです。

なお、(v^2+3v+1)は積分の被積分関数の分母なので
v^2+3v+1≠0 すなわち v=(-3±√5)/2では被積分関数が定義できないので
積分も未定義となります。

[検算]積分結果をvで微分して見れば、最初の積分の式の被積分関数になります。従って、積分結果は合っていることが確認できます。

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1の１の回答の最後の行

> √(1+cy^2)/c +c'
の先頭に「=」が抜けました。

=√(1+cy^2)/c +c'

として「=」を補ってください。

1,2とも質問があれば補足で質問して下さい。

回答No.1

info22_

1
>∫y/√(1+cy^2)dy=√(1+cy^2)/c
不定積分なので積分定数c'を忘れていませんか？
∫y/√(1+cy^2)dy=√(1+cy^2)/c＋c'

なぜなるかは
{√(1+cy^2)/c}'={(1+cy^2)^(1/2)}'/c
=(1/2){(1+cy^2)^(-1/2)}(1+cy^2)'*(1/c)
=(1/2){1/√(1+cy^2)}(2cy)*(1/c)
=y/√(1+cy^2)
微分の逆が積分だから
∫y/√(1+cy^2)dy=√(1+cy^2)/c +c'
となる。

公式∫g(t)f(g(t))dt=F(g(t)),但しF(t)=∫f(t)dt

を適用しても積分できます。
t=y,f(t)=1/√t=t^(-1/2),F(t)=2t^(1/2)+C=2√t +C
g(t)=1+ct^2,g'(t)=2ct
とおくと
∫y/√(1+cy^2)dy=(1/(2c))∫(1+cy^2)'/√(1+cy^2)dy
=(1/(2c))*2√(1+cy^2) +c'
√(1+cy^2)/c +c'

2
分母v^2+3v+1=(v+(3/2))^2 -(5/4) より
t=v+(3/2) とおくと

I=∫1/(t^2-(5/4))dt
=∫1/((t-√5/2)(t+√5/2))dt
=(1/√5)∫{1/(t-√5/2)-1/(t+√5/2)}dt
=(1/√5){log|(t-√5/2)/(t+√5/2)| +c'

あとはtをvに戻すだけです。

補足

ありがとうございます。2の解法は分数の解き方として一般的なのでしょうか。