三重積分

質問

問題を解いていたら、計算の途中で
∫∫∫dV　V={x^2+y^2+z^2<=1}
と言うのが出てきました。これって、どうやってとけばいいんでしょう？変数変換なのでしょうか？分からないのでだれか回答お願いします！

回答No.1

velvet-rope · ベストアンサー

半径1の球の体積ということで、4π/3ではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございました。

確かにそうですね!!ありがとうございました！

回答No.2

Mr_Holland

この積分をきちんと数式で求めるときは、質問者さんの考えどおり、極座標に変数変換して求めます。

　　x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ

　　dV=dxdydz=r^2sinθdrdθdφ
　　V＝{x,y,z| x^2+y^2+z^2<=1}
　　　＝{r,θ,φ| 0≦r≦1, 0≦θ≦π, 0≦φ＜2π}

　したがって、与式は次のように積分できます。

　　∫∫∫dV　V={x^2+y^2+z^2<=1}
　＝[r=0→1]∫r^2dr×[θ=0→π]∫sinθdθ×[φ=0→2π]∫dφ
　＝(1/3)×2×2π
　＝4π/3

　なお、dV=dxdydz=r^2sinθdrdθdφ　の変換に疑問がある場合は、ヤコビアンに関する次のURLを参考にしてください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E3%82%A2%E3%83%B3#.E7.90.83.E5.BA.A7.E6.A8.99

お礼

回答ありがとうございました！

球の時はそのように変数変換するんですね！