Imの基底の求め方

質問

線形写像の問題です。

線形写像F：P3→P3をF(p)＝p[1-x]+pにより定める。
KerFとImFの基底を求めよ

という問題のImFの基底の方が分かりません。
このような行列から求めない問題の場合、ImFはどう求めるのでしょうか？
一応、KerFの答えは{(1-2x),x(1-2x)(1-x)}と出ました。

回答No.4

alice_44

「表現行列」でしょ。
質問の文面によると、行列で表されていれば
自分で求められるように読めるけど？

Im の基底を求めるには、
左表現行列の例ベクトルの中から、一次独立な
最大個数の部分集合を作ればいい。
それには、勘で見つけて、後で証明してもいいし、
例ベクトルを順に並べて、シュミット直交化を
施してもいい。

回答No.3

Tacosan

その「表現集合」とやらは何を意味するのですか? ただ数字を並べるだけで「自分の意図が他人に伝わる」ということはないと思ってください.

Im F の基底を求めるんだから, 一般論としては「元の空間の基底を F で写して独立なものだけを取り出せばいい」といえる.

回答No.2

Tacosan

P3 とはなんなのかとか p[1-x] が何を意味するのかとか質問文から全く読み取れないんだけど, P3 の要素を一般にそう書くことができるんだったら求まるはず. 本質的には「基底 { 1, x, x^2, x^3 } に関する F の表現行列」を計算しそこから Im を求めるのと同じことだけど.

と書いておくけど, 実は F(1) と F(x^2) で Im の基底になるんじゃないかな.

お礼

補足欄を使ってしまったのでこちらで失礼します。
Fの表現集合を計算したところ、
2 1 1 1
0 0 -2 -3
0 0 2 3
0 0 0 0
となりました。
答えをちらりと見てみたところ、ImFの基底は{(1,x(1-x))}となるようなのですが、この集合から導くには？という段階で止まってしまいました。

補足

P3：3次以下の多項式全体のなすベクトル空間
p[1-x]：pにおいてxを(1-x)に置き換えて与えられる多項式
です。
書き忘れてました、すいません。

回答No.1

Tacosan

いろいろ方針はあると思うけどね. それこそ, てきとうな基底に対して行列を出してもいいわけだし.

補足

KerFの基底を求めるときはp=a+bx+cx^2+dx^3として、F(p)＝0で求めました。
ImFでもこのpを使って求められますか？