基底の変換行列の問題

質問

線形数学習いたての大学一年生です

P3(K)の基底[ 1 , x , x ( x - 1 ) / 2 , x ( x - 1 ) ( x - 2 ) / 6 ]から[ 1 , x , x ^ 2 , x ^ 3 ]の基底の変換行列を求めよ。

↑の問題をどう解けばよいのかわかりません。
どうか教えてください(m_ _)m

回答No.2

rtz

No.1さんの補足。

Aの1列目に関しては
1*(1行目の数)＋x*(2行目の数)＋x(x-1)/2*(3行目の数)＋x(x-1)(x-2)/6*(4行目の数)＝1
ですよね。
xが如何なる場合でも成立するためには、2,3,4行目の"数"は幾らだといいでしょうか？
そしたら1行目の数も決まりますよね。

同様にしてAの2列目の3,4行目も、3列目の4行目も"その数"にしてしまえばいいのです。
要は4つの恒等式の係数を求める問題と何ら変わりは無かったりします。

お礼

素早い回答ありがとうございます
なるほど、Aの各成分は任意だから恒等式を解けばよかったんですね
おかげで分かりました ありがとうございました！

回答No.1

rabbit_cat

[ 1 , x , x ^ 2 , x ^ 3 ] = [ 1 , x , x ( x - 1 ) / 2 , x ( x - 1 ) ( x - 2 ) / 6 ]*A
となるような、４×４の行列を求めればよいです。

お礼

早速のご返事ありがとうございます。

文章を式にすると、その形になってそれを解けばいいのはわかっているのですが、Aを４次の正方行列として、右辺を計算してできた、都合４つの方程式を連立させてとこうとしても、未知数１６個に対し式が４つしかないので、とけませんでした。

ほんとに初歩的なんですが、これ以外の解く方法を教えてください(m_ _)m